Номер 22, страница 7 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

22. Решите неравенство, ответ запишите в виде числового промежутка:

а) $2x + 5(1 - x) < 20;$

б) $\frac{x+3}{3} - \frac{x-4}{7} \ge 1.$

а) Дано линейное неравенство:

$2x + 5(1 - x) < 20$

1. Раскроем скобки в левой части неравенства:

$2x + 5 \cdot 1 - 5 \cdot x < 20$

$2x + 5 - 5x < 20$

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2x - 5x) + 5 < 20$

$-3x + 5 < 20$

3. Перенесем число 5 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$-3x < 20 - 5$

$-3x < 15$

4. Разделим обе части неравенства на -3. Важно помнить, что при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ( $<$ на $>$ ):

$x > \frac{15}{-3}$

$x > -5$

Решением неравенства является числовой промежуток, включающий все числа, строго большие -5.

Ответ: $(-5; +\infty)$.

б) Дано дробно-линейное неравенство:

$\frac{x + 3}{3} - \frac{x - 4}{7} \ge 1$

1. Чтобы избавиться от знаменателей, найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 3 и 7. НОК(3, 7) = 21.

2. Умножим обе части неравенства на 21:

$21 \cdot \left(\frac{x + 3}{3}\right) - 21 \cdot \left(\frac{x - 4}{7}\right) \ge 21 \cdot 1$

3. Выполним сокращение и получим:

$7(x + 3) - 3(x - 4) \ge 21$

4. Раскроем скобки:

$7x + 21 - 3x + 12 \ge 21$

5. Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(7x - 3x) + (21 + 12) \ge 21$

$4x + 33 \ge 21$

6. Перенесем число 33 из левой части в правую с противоположным знаком:

$4x \ge 21 - 33$

$4x \ge -12$

7. Разделим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется, так как 4 > 0):

$x \ge \frac{-12}{4}$

$x \ge -3$

Решением неравенства является числовой промежуток, включающий число -3 и все числа, большие -3.

Ответ: $[-3; +\infty)$.