Номер 16, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

16. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{36} + \sqrt{\frac{9}{16}};$

б) $(\sqrt{3})^2 - \sqrt{225};$

в) $\sqrt{0.49 \cdot 64};$

г) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}};$

д) $5\sqrt{27} - 15\sqrt{3};$

е) $(\sqrt{5} + \sqrt{20})\sqrt{5};$

ж) $(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3});$

з) $(\sqrt{2} + 3)^2 - \sqrt{72}.$

а) $\sqrt{36} + \sqrt{\frac{9}{16}}$

Для решения этого выражения необходимо вычислить каждый корень по отдельности, а затем сложить полученные значения.

1. Вычисляем корень из 36:

$\sqrt{36} = 6$

2. Вычисляем корень из дроби $\frac{9}{16}$, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

3. Складываем полученные результаты:

$6 + \frac{3}{4} = 6\frac{3}{4}$

Ответ: 6$\frac{3}{4}$

б) $(\sqrt{3})^2 - \sqrt{225}$

1. Возводим $\sqrt{3}$ в квадрат. По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

2. Находим квадратный корень из 225:

$\sqrt{225} = 15$, так как $15^2 = 225$

3. Выполняем вычитание:

$3 - 15 = -12$

Ответ: -12

в) $\sqrt{0,49 \cdot 64}$

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{0,49 \cdot 64} = \sqrt{0,49} \cdot \sqrt{64}$

1. Вычисляем корень из 0,49:

$\sqrt{0,49} = 0,7$

2. Вычисляем корень из 64:

$\sqrt{64} = 8$

3. Перемножаем результаты:

$0,7 \cdot 8 = 5,6$

Ответ: 5,6

г) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$

Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}}$

1. Выполняем деление под корнем:

$\frac{48}{3} = 16$

2. Извлекаем корень:

$\sqrt{16} = 4$

Ответ: 4

д) $5\sqrt{27} - 15\sqrt{3}$

1. Упростим выражение $\sqrt{27}$, вынеся множитель из-под знака корня. $27 = 9 \cdot 3$.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

2. Подставляем упрощенное значение в исходное выражение:

$5 \cdot (3\sqrt{3}) - 15\sqrt{3}$

3. Выполняем умножение:

$15\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = 0$

Ответ: 0

е) $(\sqrt{5} + \sqrt{20})\sqrt{5}$

1. Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt{5}$ (используем распределительный закон):

$(\sqrt{5} + \sqrt{20})\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$

2. Упрощаем каждое слагаемое:

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$

$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10$

3. Складываем результаты:

$5 + 10 = 15$

Ответ: 15

ж) $(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=\sqrt{3}$:

$(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2$

1. Вычисляем квадраты:

$1^2 = 1$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

2. Выполняем вычитание:

$1 - 3 = -2$

Ответ: -2

з) $(\sqrt{2} + 3)^2 - \sqrt{72}$

1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=\sqrt{2}$ и $b=3$:

$(\sqrt{2} + 3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11 + 6\sqrt{2}$

2. Упростим корень $\sqrt{72}$, вынеся множитель из-под знака корня. $72 = 36 \cdot 2$.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

3. Подставляем полученные значения в исходное выражение:

$(11 + 6\sqrt{2}) - 6\sqrt{2}$

4. Упрощаем выражение:

$11 + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 11$

Ответ: 11