Номер 15, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

15. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $ \frac{1}{\sqrt{2}} $;

б) $ \frac{15}{\sqrt{3}} $;

в) $ \frac{4}{\sqrt{5}-1} $;

г) $ \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} $.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$. Это действие основано на основном свойстве дроби и позволяет убрать корень из знаменателя, так как $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В результате знаменатель стал рациональным числом (2), и иррациональность устранена.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Аналогично предыдущему примеру, для дроби $\frac{15}{\sqrt{3}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3}$

Теперь можно сократить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

Ответ: $5\sqrt{3}$

в) В знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ находится разность, содержащая корень. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5}+1)$. Это позволит применить формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1) \cdot (\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}$

Сокращаем дробь на 4:

$\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

Ответ: $\sqrt{5}+1$

г) В знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ находится сумма корней. Как и в предыдущем задании, используем домножение на сопряженное выражение, которым в данном случае является $(\sqrt{7}-\sqrt{5})$, и применяем формулу разности квадратов.

$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2}$

Сокращаем дробь на 2:

$\frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2} = \sqrt{7}-\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{7}-\sqrt{5}$