Номер 10, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Разложите многочлен на множители:

а) $8ab - 4ac$;

б) $6x^2y - 3xy$;

в) $m^2 - 36$;

г) $25 - 4y^2$;

д) $a^2 - 4a + ab - 4b$;

е) $x^3 - x^2 + x - 1$.

Какими способами разложения многочленов на множители вы пользовались?

а) Чтобы разложить многочлен $8ab - 4ac$ на множители, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для каждого члена многочлена и вынести его за скобки.
НОД для чисел 8 и 4 равен 4.
Общей переменной является $a$.
Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $4a$.
$8ab - 4ac = 4a(2b) - 4a(c) = 4a(2b - c)$.
Ответ: $4a(2b - c)$.

б) В многочлене $6x^2y - 3xy$ также используем метод вынесения общего множителя.
НОД для коэффициентов 6 и 3 равен 3.
Общая часть для переменных $x^2y$ и $xy$ это $xy$.
Выносим за скобки $3xy$.
$6x^2y - 3xy = 3xy(2x) - 3xy(1) = 3xy(2x - 1)$.
Ответ: $3xy(2x - 1)$.

в) Выражение $m^2 - 36$ является разностью квадратов, так как $m^2$ это квадрат $m$, а $36$ это $6^2$. Применяем формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$m^2 - 36 = m^2 - 6^2 = (m - 6)(m + 6)$.
Ответ: $(m - 6)(m + 6)$.

г) Выражение $25 - 4y^2$ также представляет собой разность квадратов, где $25 = 5^2$ и $4y^2 = (2y)^2$.
Применяем ту же формулу:
$25 - 4y^2 = 5^2 - (2y)^2 = (5 - 2y)(5 + 2y)$.
Ответ: $(5 - 2y)(5 + 2y)$.

д) Для разложения многочлена $a^2 - 4a + ab - 4b$ на множители применяется способ группировки. Сгруппируем попарно члены многочлена:
$(a^2 - 4a) + (ab - 4b)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $a$, а из второй — $b$.
$a(a - 4) + b(a - 4)$.
Теперь общим множителем является выражение в скобках $(a - 4)$, которое мы выносим за скобки.
$(a - 4)(a + b)$.
Ответ: $(a - 4)(a + b)$.

е) Многочлен $x^3 - x^2 + x - 1$ также раскладывается на множители с помощью способа группировки.
Сгруппируем члены: $(x^3 - x^2) + (x - 1)$.
Из первой группы выносим $x^2$: $x^2(x - 1)$.
Получаем: $x^2(x - 1) + 1(x - 1)$.
Выносим общий множитель $(x - 1)$ за скобки.
$(x - 1)(x^2 + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x^2 + 1)$.

Какими способами разложения многочленов на множители вы пользовались?

Ответ:
При решении были использованы следующие способы разложения многочленов на множители:

• Вынесение общего множителя за скобки. Этот способ применялся для решения примеров а) и б), а также как составная часть метода группировки в примерах д) и е).
• Использование формул сокращенного умножения. В примерах в) и г) была использована формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
• Способ группировки. Этот метод использовался в примерах д) и е) для многочленов, которые не имеют общего множителя для всех членов. Слагаемые группируются так, чтобы в каждой группе появился свой общий множитель, что в итоге приводит к появлению общего множителя для всех групп.