Номер 12, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Разложите на множители квадратный трехчлен:

a) $x^2 - 2x - 8$;

б) $5x^2 + 6x + 1$.

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

a) $x^2 - 2x - 8$

1. Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$, чтобы найти его корни. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1, можно воспользоваться теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбирая целые числа, находим, что корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$, так как $4 + (-2) = 2$ и $4 \cdot (-2) = -8$.

2. Теперь подставим найденные корни $x_1 = 4$, $x_2 = -2$ и старший коэффициент $a=1$ в формулу разложения:

$x^2 - 2x - 8 = 1 \cdot (x - 4)(x - (-2)) = (x - 4)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 4)(x + 2)$.

б) $5x^2 + 6x + 1$

1. Решим квадратное уравнение $5x^2 + 6x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=5, b=6, c=1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 + 4}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 - 4}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.

2. Подставим найденные корни $x_1 = -\frac{1}{5}$, $x_2 = -1$ и старший коэффициент $a=5$ в формулу разложения:

$5x^2 + 6x + 1 = 5 \cdot (x - (-\frac{1}{5}))(x - (-1)) = 5(x + \frac{1}{5})(x + 1)$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель 5 в первую скобку:

$5(x + \frac{1}{5})(x + 1) = (5 \cdot x + 5 \cdot \frac{1}{5})(x + 1) = (5x + 1)(x + 1)$.

Ответ: $(5x + 1)(x + 1)$.