Номер 13, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Пользуясь определением и свойствами арифметического квадратного корня, вычислите:

а) $\sqrt{81} - \sqrt{\frac{4}{9}};$

б) $2\sqrt{36} + \frac{\sqrt{64}}{4};$

в) $(\sqrt{5})^2 - \sqrt{169};$

г) $(2\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2;$

д) $\sqrt{0,25 \cdot 81};$

е) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{800};$

ж) $\sqrt{\frac{0,01}{225}};$

з) $\frac{\sqrt{450}}{\sqrt{2}}.$

$\sqrt{a} = b$, если $b \ge 0$ и $b^2 = a$

$(\sqrt{a})^2 = a$, где $a \ge 0$

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

а) $\sqrt{81} - \sqrt{\frac{4}{9}}$

Для решения этого примера воспользуемся определением арифметического квадратного корня и свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

1. Вычислим значение каждого корня:

$\sqrt{81} = 9$, так как $9^2 = 81$.

$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$, так как $2^2=4$ и $3^2=9$.

2. Выполним вычитание полученных значений:

$9 - \frac{2}{3} = \frac{27}{3} - \frac{2}{3} = \frac{27-2}{3} = \frac{25}{3}$.

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$\frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$.

Ответ: 8$\frac{1}{3}$.

б) $2\sqrt{36} + \frac{\sqrt{64}}{4}$

1. Вычислим значения квадратных корней:

$\sqrt{36} = 6$.

$\sqrt{64} = 8$.

2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$2 \cdot 6 + \frac{8}{4}$.

3. Выполним арифметические действия:

$12 + 2 = 14$.

Ответ: 14.

в) $(\sqrt{5})^2 - \sqrt{169}$

1. Используем свойство $(\sqrt{a})^2 = a$ для первого слагаемого:

$(\sqrt{5})^2 = 5$.

2. Вычислим значение квадратного корня:

$\sqrt{169} = 13$, так как $13^2 = 169$.

3. Выполним вычитание:

$5 - 13 = -8$.

Ответ: -8.

г) $(2\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2$

1. Возведем в квадрат каждый член выражения. Для первого члена используем свойство $(ab)^2 = a^2b^2$:

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

2. Для второго члена учтем, что квадрат отрицательного числа положителен:

$(-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

3. Сложим полученные результаты:

$12 + 2 = 14$.

Ответ: 14.

д) $\sqrt{0,25 \cdot 81}$

1. Используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{0,25 \cdot 81} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{81}$.

2. Вычислим каждый корень:

$\sqrt{0,25} = 0,5$, так как $0,5^2 = 0,25$.

$\sqrt{81} = 9$.

3. Перемножим результаты:

$0,5 \cdot 9 = 4,5$.

4. Представим ответ в виде смешанного числа: $4,5 = 4\frac{1}{2}$.

Ответ: 4$\frac{1}{2}$.

е) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{800}$

1. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{800} = \sqrt{2 \cdot 800} = \sqrt{1600}$.

2. Вычислим значение корня:

$\sqrt{1600} = \sqrt{16 \cdot 100} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{100} = 4 \cdot 10 = 40$.

Ответ: 40.

ж) $\sqrt{\frac{0,01}{225}}$

1. Используем свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{0,01}{225}} = \frac{\sqrt{0,01}}{\sqrt{225}}$.

2. Вычислим значения корней:

$\sqrt{0,01} = 0,1$.

$\sqrt{225} = 15$.

3. Получим дробь $\frac{0,1}{15}$. Для удобства преобразуем ее, избавившись от десятичной дроби в числителе:

$\frac{0,1}{15} = \frac{1/10}{15} = \frac{1}{10 \cdot 15} = \frac{1}{150}$.

Ответ: $\frac{1}{150}$.

з) $\frac{\sqrt{450}}{\sqrt{2}}$

1. Используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{450}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{450}{2}} = \sqrt{225}$.

2. Вычислим значение корня:

$\sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15.