Номер 20, страница 7 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

20. Не выполняя построения графика, для функции $y = -5x + 35$ найдите:

а) область определения;

б) множество значений;

в) нуль;

г) промежутки знакопостоянства;

д) угловой коэффициент прямой;

е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

а) область определения;
Данная функция $y = -5x + 35$ является линейной, которая представляет собой многочлен первой степени. Область определения любого многочлена — все действительные числа, так как для любого значения аргумента $x$ можно вычислить соответствующее значение функции $y$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений;
Графиком линейной функции является прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k=-5$ не равен нулю, прямая является наклонной и не имеет ограничений по оси $y$, то есть она принимает все возможные действительные значения.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) нуль;
Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю ($y=0$). Для нахождения нуля необходимо решить уравнение:
$-5x + 35 = 0$
$-5x = -35$
$x = \frac{-35}{-5}$
$x = 7$
Ответ: 7.

г) промежутки знакопостоянства;
Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (либо $y > 0$, либо $y < 0$). Нуль функции $x=7$ является точкой, в которой функция меняет знак.
1. Найдем промежуток, где $y > 0$:
$-5x + 35 > 0 \implies -5x > -35$. При делении на -5 знак неравенства меняется на противоположный: $x < 7$.
2. Найдем промежуток, где $y < 0$:
$-5x + 35 < 0 \implies -5x < -35$. При делении на -5 знак неравенства меняется на противоположный: $x > 7$.
Ответ: функция положительна ($y>0$) на промежутке $(-\infty; 7)$; функция отрицательна ($y<0$) на промежутке $(7; +\infty)$.

д) угловой коэффициент прямой;
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент. В функции $y = -5x + 35$ коэффициент при переменной $x$ и есть угловой коэффициент.
Ответ: -5.

е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.
График функции пересекает ось ординат (ось $y$) в точке, где абсцисса $x=0$. Чтобы найти ординату этой точки, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = -5 \cdot 0 + 35 = 35$
Следовательно, координаты точки пересечения с осью ординат равны $(0; 35)$.
Ответ: $(0; 35)$.