Номер 14, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Выполните действия и определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

a) $7\sqrt{200} - \sqrt{50}$;

б) $(2\sqrt{3} - \sqrt{27})\sqrt{3}$;

в) $(6 - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 6)$;

г) $(\sqrt{3} - 1)^2 + \sqrt{12}$.

14. Выполните действия и определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $7\sqrt{200} - \sqrt{50}$

Сначала упростим выражения с корнями, вынося множитель из-под знака корня:

$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{10^2 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$7\sqrt{200} - \sqrt{50} = 7(10\sqrt{2}) - 5\sqrt{2} = 70\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (70-5)\sqrt{2} = 65\sqrt{2}$

Результат является произведением рационального числа (65) и иррационального числа ($\sqrt{2}$), поэтому он иррационален.

Ответ: $65\sqrt{2}$, иррациональное число.

б) $(2\sqrt{3} - \sqrt{27})\sqrt{3}$

Упростим корень $\sqrt{27}$:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим значение и выполним умножение, используя распределительный закон:

$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{3})\sqrt{3} = (-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = -(\sqrt{3})^2 = -3$

Результат -3 является целым числом, а значит, рациональным.

Ответ: -3, рациональное число.

в) $(6 - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 6)$

Заметим, что это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Перепишем выражение для наглядности: $(6 - \sqrt{2})(6 + \sqrt{2})$.

Применим формулу, где $a=6$ и $b=\sqrt{2}$:

$(6 - \sqrt{2})(6 + \sqrt{2}) = 6^2 - (\sqrt{2})^2 = 36 - 2 = 34$

Результат 34 является целым числом, а значит, рациональным.

Ответ: 34, рациональное число.

г) $(\sqrt{3} - 1)^2 + \sqrt{12}$

Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

Затем упростим $\sqrt{12}$:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Теперь сложим полученные результаты:

$(4 - 2\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4$

Результат 4 является целым числом, а значит, рациональным.

Ответ: 4, рациональное число.

15. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $\frac{15}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ и сократим полученную дробь:

$\frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

Ответ: $5\sqrt{3}$

в) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(\sqrt{5}+1)$. В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$\frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

Ответ: $\sqrt{5}+1$

г) $\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(\sqrt{7}-\sqrt{5})$:

$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2} = \sqrt{7}-\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{7}-\sqrt{5}$