Номер 7, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Разложите многочлен на множители способом группи-ровки:

a) $a^2 + 3a + ab + 3b$;

б) $15m - 5n - mn + 3m^2$.

Метод группировки заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы каждая группа имела общий множитель. Затем этот общий множитель выносится за скобки, что позволяет в итоге разложить весь многочлен.

а) Разложим многочлен $a^2 + 3a + ab + 3b$ на множители.

Сгруппируем члены многочлена: первые два и последние два.

$ (a^2 + 3a) + (ab + 3b) $

В первой группе $(a^2 + 3a)$ вынесем за скобки общий множитель $a$:

$ a(a + 3) $

Во второй группе $(ab + 3b)$ вынесем за скобки общий множитель $b$:

$ b(a + 3) $

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ a(a + 3) + b(a + 3) $

Мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель в виде скобки $(a + 3)$. Вынесем его за скобки:

$ (a + 3)(a + b) $

Ответ: $(a + 3)(a + b)$

б) Разложим многочлен $15m - 5n - mn + 3m^2$ на множители.

Для удобства сгруппируем первый член с последним, а второй с третьим. Переставим слагаемые:

$ (15m + 3m^2) + (-5n - mn) $

В первой группе $(15m + 3m^2)$ вынесем за скобки общий множитель $3m$:

$ 3m(5 + m) $

Во второй группе $(-5n - mn)$ вынесем за скобки общий множитель $-n$ (вынесение отрицательного множителя меняет знаки в скобках на противоположные):

$ -n(5 + m) $

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ 3m(5 + m) - n(5 + m) $

Мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель в виде скобки $(5 + m)$. Вынесем его за скобки:

$ (5 + m)(3m - n) $

Ответ: $(5 + m)(3m - n)$