Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Используя формулы сокращенного умножения и правила раскрытия скобок, представьте выражение в виде многочлена стандартного вида:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) $(a - b)(a + b) - a(a - 1);$

б) $(m + 2)^2 + 4m(m - 1);$

в) $(b - 5)^2 - (b - 3)(b + 3);$

г) $(c - 2)(c + 8) - (c - 3)^2.$

а) $(a - b)(a + b) - a(a - 1)$

Для первого слагаемого $(a - b)(a + b)$ применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Для второго слагаемого $-a(a - 1)$ раскроем скобки, умножив $-a$ на каждый член в скобках.

$(a^2 - b^2) - (a \cdot a - a \cdot 1) = a^2 - b^2 - (a^2 - a)$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:

$a^2 - b^2 - a^2 + a$

Приводим подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) - b^2 + a = 0 - b^2 + a = a - b^2$

Ответ: $a - b^2$

б) $(m + 2)^2 + 4m(m - 1)$

Для первого слагаемого $(m + 2)^2$ применим формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Для второго слагаемого $4m(m - 1)$ раскроем скобки.

$(m^2 + 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2) + (4m \cdot m - 4m \cdot 1) = (m^2 + 4m + 4) + (4m^2 - 4m)$

Сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$m^2 + 4m + 4 + 4m^2 - 4m = (m^2 + 4m^2) + (4m - 4m) + 4 = 5m^2 + 0 + 4 = 5m^2 + 4$

Ответ: $5m^2 + 4$

в) $(b - 5)^2 - (b - 3)(b + 3)$

Применяем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(b^2 - 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2) - (b^2 - 3^2) = (b^2 - 10b + 25) - (b^2 - 9)$

Раскрываем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, меняем знаки всех членов в ней на противоположные:

$b^2 - 10b + 25 - b^2 + 9$

Приводим подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) - 10b + (25 + 9) = 0 - 10b + 34 = -10b + 34$

Ответ: $-10b + 34$

г) $(c - 2)(c + 8) - (c - 3)^2$

Первые скобки $(c - 2)(c + 8)$ раскрываем путем перемножения каждого члена первой скобки на каждый член второй. Второе выражение $(c - 3)^2$ раскрываем по формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(c \cdot c + 8c - 2c - 2 \cdot 8) - (c^2 - 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2) = (c^2 + 6c - 16) - (c^2 - 6c + 9)$

Раскрываем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$c^2 + 6c - 16 - c^2 + 6c - 9$

Приводим подобные слагаемые:

$(c^2 - c^2) + (6c + 6c) + (-16 - 9) = 0 + 12c - 25 = 12c - 25$

Ответ: $12c - 25$