Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Найдите значение выражения:

a) $81 \cdot 3^{-5};$

б) $1000 \cdot 0.1^5;$

в) $125^{-4} : 25^{-6};$

г) $7^{-15} \cdot (49^{-4})^{-2};$

д) $\frac{36^{-5}}{6^{-3} \cdot 6^{-5}};$

е) $(4^{-10} \cdot 2^{21})^{-4}.$

а) Для нахождения значения выражения $81 \cdot 3^{-5}$ представим число 81 как степень с основанием 3:
$81 = 3^4$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$81 \cdot 3^{-5} = 3^4 \cdot 3^{-5}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^4 \cdot 3^{-5} = 3^{4+(-5)} = 3^{4-5} = 3^{-1}$.
По определению степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):
$3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Для нахождения значения выражения $1000 \cdot 0,1^5$ представим множители как степени с основанием 10:
$1000 = 10^3$
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$
Подставим эти значения в выражение:
$1000 \cdot 0,1^5 = 10^3 \cdot (10^{-1})^5$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются (свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(10^{-1})^5 = 10^{-1 \cdot 5} = 10^{-5}$.
Теперь выражение выглядит так: $10^3 \cdot 10^{-5}$.
Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием:
$10^3 \cdot 10^{-5} = 10^{3+(-5)} = 10^{-2}$.
Преобразуем степень с отрицательным показателем в дробь:
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{100}$.

в) Для нахождения значения выражения $125^{-4} : 25^{-6}$ приведем числа к одному основанию 5:
$125 = 5^3$
$25 = 5^2$
Подставим эти значения в выражение:
$125^{-4} : 25^{-6} = (5^3)^{-4} : (5^2)^{-6}$.
Применим свойство возведения степени в степень:
$(5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12}$
$(5^2)^{-6} = 5^{2 \cdot (-6)} = 5^{-12}$
Теперь выражение выглядит так: $5^{-12} : 5^{-12}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$):
$5^{-12} : 5^{-12} = 5^{-12 - (-12)} = 5^{-12+12} = 5^0$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$):
$5^0 = 1$.
Ответ: 1.

г) Для нахождения значения выражения $7^{-15} \cdot (49^{-4})^{-2}$ сначала упростим второй множитель, используя свойство возведения степени в степень:
$(49^{-4})^{-2} = 49^{(-4) \cdot (-2)} = 49^8$.
Выражение принимает вид: $7^{-15} \cdot 49^8$.
Теперь приведем все к основанию 7, зная, что $49 = 7^2$:
$7^{-15} \cdot (7^2)^8$.
Снова применим свойство возведения степени в степень:
$(7^2)^8 = 7^{2 \cdot 8} = 7^{16}$.
Выражение принимает вид: $7^{-15} \cdot 7^{16}$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:
$7^{-15} \cdot 7^{16} = 7^{-15 + 16} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7.

д) Для нахождения значения выражения $\frac{36^{-5}}{6^{-3} \cdot 6^{-5}}$ сначала упростим знаменатель, используя свойство умножения степеней:
$6^{-3} \cdot 6^{-5} = 6^{-3+(-5)} = 6^{-8}$.
Выражение принимает вид: $\frac{36^{-5}}{6^{-8}}$.
Представим числитель как степень с основанием 6, так как $36 = 6^2$:
$\frac{(6^2)^{-5}}{6^{-8}}$.
Упростим числитель по свойству возведения степени в степень:
$(6^2)^{-5} = 6^{2 \cdot (-5)} = 6^{-10}$.
Дробь принимает вид: $\frac{6^{-10}}{6^{-8}}$.
Используем свойство деления степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{6^{-10}}{6^{-8}} = 6^{-10 - (-8)} = 6^{-10+8} = 6^{-2}$.
Преобразуем в дробь:
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$.

е) Для нахождения значения выражения $(4^{-10} \cdot 2^{21})^{-4}$ сначала упростим выражение в скобках, приведя степени к основанию 2. Так как $4 = 2^2$:
$( (2^2)^{-10} \cdot 2^{21} )^{-4}$.
Упростим $(2^2)^{-10}$, используя свойство возведения степени в степень:
$(2^2)^{-10} = 2^{2 \cdot (-10)} = 2^{-20}$.
Выражение в скобках принимает вид: $2^{-20} \cdot 2^{21}$.
Упростим произведение, сложив показатели степеней:
$2^{-20} \cdot 2^{21} = 2^{-20+21} = 2^1 = 2$.
Теперь возведем полученный результат в степень -4:
$(2)^{-4} = 2^{-4}$.
Преобразуем в дробь:
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.