Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Вычислите:

а) $5^7 \cdot 5^{-5}$;

б) $10^9 : 10^6$;

в) $(0,1^2)^{-2}$;

г) $1,6^3 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^3$;

д) $\frac{2,8^5}{1,4^5}$;

е) $16 \cdot 2^{-6}$;

ж) $6^{-17} : (36^{-4})^2$;

з) $\frac{7^{-3} \cdot 49^{-4}}{7^{-9}}$.

а) Для вычисления произведения степеней с одинаковым основанием $5^7 \cdot 5^{-5}$, воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$5^7 \cdot 5^{-5} = 5^{7 + (-5)} = 5^{7-5} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25.

б) Для вычисления частного степеней с одинаковым основанием $10^9 : 10^6$, используем свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя:

$10^9 : 10^6 = 10^{9-6} = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000.

в) Для вычисления $(0,1^2)^{-2}$, сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. При этом показатели степеней перемножаются:

$(0,1^2)^{-2} = 0,1^{2 \cdot (-2)} = 0,1^{-4}$.

Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Представим $0,1$ как $\frac{1}{10}$:

$0,1^{-4} = (\frac{1}{10})^{-4} = (\frac{10}{1})^4 = 10^4 = 10000$.

Ответ: 10000.

г) В выражении $1,6^3 \cdot (\frac{1}{8})^3$ показатели степеней одинаковы. Применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(1,6 \cdot \frac{1}{8})^3$.

Вычислим произведение в скобках, представив $1,6$ в виде обыкновенной дроби:

$1,6 \cdot \frac{1}{8} = \frac{16}{10} \cdot \frac{1}{8} = \frac{16 \cdot 1}{10 \cdot 8} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь возведем результат в куб:

$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125} = 0,008$.

Ответ: 0,008.

д) В выражении $\frac{2,8^5}{1,4^5}$ показатели степеней в числителе и знаменателе одинаковы. Применим свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:

$(\frac{2,8}{1,4})^5$.

Вычислим частное в скобках:

$\frac{2,8}{1,4} = 2$.

Теперь возведем результат в пятую степень:

$2^5 = 32$.

Ответ: 32.

е) Для вычисления $16 \cdot 2^{-6}$ представим число $16$ в виде степени с основанием $2$:

$16 = 2^4$.

Подставим это в исходное выражение:

$2^4 \cdot 2^{-6}$.

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{4 + (-6)} = 2^{4-6} = 2^{-2}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: 0,25.

ж) В выражении $6^{-17} : (36^{-4})^2$ сначала упростим делитель $(36^{-4})^2$.

Представим $36$ как $6^2$ и воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(36^{-4})^2 = ((6^2)^{-4})^2 = (6^{2 \cdot (-4)})^2 = (6^{-8})^2 = 6^{-8 \cdot 2} = 6^{-16}$.

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$6^{-17} : 6^{-16} = 6^{-17 - (-16)} = 6^{-17 + 16} = 6^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем:

$6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

з) Для упрощения выражения $\frac{7^{-3} \cdot 49^{-4}}{7^{-9}}$, приведем все степени к основанию $7$.

Так как $49 = 7^2$, то $49^{-4} = (7^2)^{-4} = 7^{2 \cdot (-4)} = 7^{-8}$.

Подставим это в числитель дроби:

$7^{-3} \cdot 7^{-8}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$7^{-3 + (-8)} = 7^{-11}$.

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{7^{-11}}{7^{-9}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$7^{-11 - (-9)} = 7^{-11 + 9} = 7^{-2}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$.