Номер 8, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) $a^2 + 4a + 4;$

б) $9b^2 - 6b + 1;$

в) $m^2 - 18mn + 81n^2;$

г) $x^4 + 2x^2 y + y^2.$

Для представления трехчлена в виде квадрата двучлена используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Необходимо для каждого выражения определить, какой формуле оно соответствует, и найти члены двучлена.

а) $a^2 + 4a + 4$
Данный трехчлен соответствует формуле квадрата суммы. Определим члены двучлена:

• Первый член в квадрате: $a^2$. Значит, первый член искомого двучлена равен $a$.
• Третий член: $4 = 2^2$. Значит, второй член искомого двучлена равен $2$.
• Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов, то есть $2 \cdot a \cdot 2 = 4a$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Таким образом, трехчлен является квадратом суммы $(a + 2)$.
$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a + 2)^2$.
Ответ: $(a + 2)^2$.

б) $9b^2 - 6b + 1$
Данный трехчлен соответствует формуле квадрата разности, так как средний член имеет знак минус. Определим члены двучлена:

• Первый член в квадрате: $9b^2 = (3b)^2$. Значит, первый член искомого двучлена равен $3b$.
• Третий член: $1 = 1^2$. Значит, второй член искомого двучлена равен $1$.
• Проверим средний член: $2 \cdot 3b \cdot 1 = 6b$. Это совпадает со средним членом исходного выражения (без учета знака).

Таким образом, трехчлен является квадратом разности $(3b - 1)$.
$9b^2 - 6b + 1 = (3b)^2 - 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2 = (3b - 1)^2$.
Ответ: $(3b - 1)^2$.

в) $m^2 - 18mn + 81n^2$
Данный трехчлен также соответствует формуле квадрата разности. Определим члены двучлена:

• Первый член в квадрате: $m^2$. Значит, первый член искомого двучлена равен $m$.
• Третий член: $81n^2 = (9n)^2$. Значит, второй член искомого двучлена равен $9n$.
• Проверим средний член: $2 \cdot m \cdot 9n = 18mn$. Это совпадает со средним членом исходного выражения (без учета знака).

Таким образом, трехчлен является квадратом разности $(m - 9n)$.
$m^2 - 18mn + 81n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 9n + (9n)^2 = (m - 9n)^2$.
Ответ: $(m - 9n)^2$.

г) $x^4 + 2x^2y + y^2$
Данный трехчлен соответствует формуле квадрата суммы. Определим члены двучлена:

• Первый член в квадрате: $x^4 = (x^2)^2$. Значит, первый член искомого двучлена равен $x^2$.
• Третий член: $y^2$. Значит, второй член искомого двучлена равен $y$.
• Проверим средний член: $2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Таким образом, трехчлен является квадратом суммы $(x^2 + y)$.
$x^4 + 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2 + y)^2$.
Ответ: $(x^2 + y)^2$.