Номер 18, страница 7 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

18. Решите неравенство, от-

вет запишите в виде числового

промежутка:

a) $3x - 5(x - 1) > 7;$

б) $\frac{x-1}{3} \le 2x + \frac{3x+1}{4}.$

а) Дано неравенство:

$3x - 5(x - 1) > 7$

1. Раскроем скобки в левой части неравенства, умножив -5 на каждый член в скобках:

$3x - 5x + 5 > 7$

2. Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$-2x + 5 > 7$

3. Перенесем свободный член (5) из левой части в правую с противоположным знаком:

$-2x > 7 - 5$

$-2x > 2$

4. Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с ">" на "<"):

$x < \frac{2}{-2}$

$x < -1$

5. Запишем решение в виде числового промежутка. Неравенство строгое, поэтому скобка будет круглой.

Ответ: $(-\infty; -1)$.

б) Дано неравенство:

$\frac{x-1}{3} \le 2x + \frac{3x+1}{4}$

1. Чтобы избавиться от дробных выражений, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3 и 4. НОК(3, 4) = 12.

$12 \cdot \frac{x-1}{3} \le 12 \cdot 2x + 12 \cdot \frac{3x+1}{4}$

2. Упростим выражение:

$4(x-1) \le 24x + 3(3x+1)$

3. Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$4x - 4 \le 24x + 9x + 3$

4. Приведем подобные слагаемые в правой части:

$4x - 4 \le 33x + 3$

5. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $4x$ в правую часть, а 3 — в левую, меняя их знаки:

$-4 - 3 \le 33x - 4x$

$-7 \le 29x$

6. Разделим обе части на 29. Так как 29 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{-7}{29} \le x$

Это эквивалентно записи:

$x \ge -\frac{7}{29}$

7. Запишем решение в виде числового промежутка. Неравенство нестрогое, поэтому скобка со стороны числа будет квадратной. Дробь $-\frac{7}{29}$ является правильной, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $[-\frac{7}{29}; +\infty)$.