Номер 1.9, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.9. Приведите пример значений переменных $a$ и $b$, при которых значение рациональной дроби $\frac{a+1}{b}$ является:

а) целым числом;

б) дробным числом;

в) отрицательным числом;

г) иррациональным числом.

а) целым числом;
Чтобы значение рациональной дроби $\frac{a+1}{b}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $a+1$ делился нацело на знаменатель $b$ (при условии, что $b \neq 0$).
Выберем значение для знаменателя, например, $b=2$. Тогда числитель $a+1$ должен быть четным числом, чтобы дробь была целым числом. Пусть $a+1 = 10$. Отсюда находим $a$: $a = 10 - 1 = 9$.
Проверим: при $a=9$ и $b=2$ значение дроби равно $\frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Число 5 является целым.
Ответ: например, при $a=9$, $b=2$ значение дроби равно 5.

б) дробным числом;
Чтобы значение дроби $\frac{a+1}{b}$ было дробным числом (то есть рациональным числом, не являющимся целым), необходимо, чтобы числитель $a+1$ не делился нацело на знаменатель $b$.
Выберем знаменатель, например, $b=3$. Теперь подберем такое значение $a$, чтобы $a+1$ не было кратно 3. Пусть $a=4$. Тогда $a+1=5$. Число 5 не делится на 3 без остатка.
Проверим: при $a=4$ и $b=3$ значение дроби равно $\frac{4+1}{3} = \frac{5}{3}$.
Это неправильная дробь. Выделим из нее целую часть: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$. Это дробное число.
Ответ: например, при $a=4$, $b=3$ значение дроби равно $\frac{5}{3} = \boldsymbol{1}\frac{2}{3}$.

в) отрицательным числом;
Чтобы значение дроби $\frac{a+1}{b}$ было отрицательным, ее числитель $a+1$ и знаменатель $b$ должны иметь разные знаки.
Рассмотрим случай, когда числитель отрицательный ($a+1 < 0$), а знаменатель положительный ($b > 0$).
Неравенство $a+1 < 0$ выполняется, если $a < -1$. Возьмем $a=-6$.
Знаменатель должен быть положительным, пусть $b=2$.
Проверим: при $a=-6$ и $b=2$ значение дроби равно $\frac{-6+1}{2} = \frac{-5}{2}$.
Это отрицательное число. Выделим целую часть: $-\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.
Ответ: например, при $a=-6$, $b=2$ значение дроби равно $-\frac{5}{2} = -\boldsymbol{2}\frac{1}{2}$.

г) иррациональным числом.
Термин "рациональная дробь" относится к виду выражения (отношение двух многочленов), а не к типу числа, которое получается в результате. Переменные $a$ и $b$ могут принимать любые значения, в том числе иррациональные.
Чтобы значение дроби $\frac{a+1}{b}$ было иррациональным, хотя бы одна из переменных ($a$ или $b$) должна быть иррациональным числом, причем таким образом, чтобы иррациональность не сократилась.
Проще всего этого достичь, если одна из переменных иррациональна, а другая — рациональна.
Пусть $a = \sqrt{2}-1$ (иррациональное число), а $b=1$ (рациональное число).
Проверим: при $a=\sqrt{2}-1$ и $b=1$ значение дроби равно $\frac{(\sqrt{2}-1)+1}{1} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$.
Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.
Ответ: например, при $a=\sqrt{2}-1$, $b=1$ значение дроби равно $\sqrt{2}$.