Номер 1.13, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.13. Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $x^2 + 8x - 5;$

б) $x + \frac{x-4}{7};$

в) $\frac{x-6}{x} + \frac{5}{x-2};$

г) $\frac{2x-1}{3x+2} - \frac{x-7}{x-4};$

д) $\frac{5}{x^2+3x} + \frac{8}{x-1};$

е) $\frac{9}{x^2-25} + \frac{7}{x^2+16}.$

Чтобы найти, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Для рациональных выражений (дробей) главным ограничением является то, что знаменатель не может быть равен нулю.

Данное выражение является многочленом. Многочлены определены для любых действительных значений переменной, так как в них отсутствуют операции деления на переменную или извлечения корня из переменной.
Ответ: $x$ — любое число.

В данном выражении присутствует дробный член, но его знаменатель является константой, не равной нулю ($7 \neq 0$). Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях переменной $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

Это выражение — сумма двух дробей. Оно имеет смысл, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Знаменатель первой дроби не равен нулю: $x \neq 0$.
2. Знаменатель второй дроби не равен нулю: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Таким образом, выражение определено для всех значений $x$, кроме $0$ и $2$.
Ответ: все числа, кроме $0$ и $2$.

Это выражение — разность двух дробей. Оно имеет смысл, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Знаменатель первой дроби не равен нулю: $3x + 2 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq -2 \Rightarrow x \neq -\frac{2}{3}$.
2. Знаменатель второй дроби не равен нулю: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
Таким образом, выражение определено для всех значений $x$, кроме $-\frac{2}{3}$ и $4$.
Ответ: все числа, кроме $-\frac{2}{3}$ и $4$.

Это выражение — сумма двух дробей. Оно имеет смысл, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Знаменатель первой дроби: $x^2 + 3x \neq 0 \Rightarrow x(x+3) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -3$.
2. Знаменатель второй дроби: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Таким образом, выражение определено для всех значений $x$, кроме $-3$, $0$ и $1$.
Ответ: все числа, кроме $-3$, $0$ и $1$.

Это выражение — сумма двух дробей. Оно имеет смысл, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Знаменатель первой дроби: $x^2 - 25 \neq 0 \Rightarrow (x-5)(x+5) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
2. Знаменатель второй дроби: $x^2 + 16$. Так как квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то $x^2 + 16 \ge 16$. Это означает, что второй знаменатель никогда не равен нулю.
Таким образом, выражение определено для всех значений $x$, кроме $-5$ и $5$.
Ответ: все числа, кроме $-5$ и $5$.