Номер 1.17, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.17*. Найдите область определения выражения:

a) $\frac{x}{1-\frac{5}{x}}$;

б) $\frac{x}{x-\frac{9}{x}}$.

а) Область определения выражения (ОДЗ) — это множество всех значений переменной $x$, при которых данное выражение имеет смысл. В выражении $\frac{x}{1-\frac{5}{x}}$ есть два условия, которые должны выполняться:
1. Знаменатель вложенной дроби $\frac{5}{x}$ не может быть равен нулю. Отсюда следует, что $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби не может быть равен нулю:
$1 - \frac{5}{x} \neq 0$
$1 \neq \frac{5}{x}$
Домножим обе части на $x$ (мы уже установили, что $x \neq 0$):
$x \neq 5$.
Таким образом, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме 0 и 5.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

б) Для нахождения области определения выражения $\frac{x}{x-\frac{9}{x}}$ необходимо найти все значения $x$, при которых знаменатели не обращаются в ноль.
1. Знаменатель вложенной дроби $\frac{9}{x}$ не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби не может быть равен нулю:
$x - \frac{9}{x} \neq 0$
$x \neq \frac{9}{x}$
Домножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$x \cdot x \neq 9$
$x^2 \neq 9$
Это означает, что $x$ не может быть равен 3 и -3, так как $3^2=9$ и $(-3)^2=9$.
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Итак, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме -3, 0 и 3.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.