Номер 1.15, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.15*. Известно, что $3a-12b=1$. Найдите, если это возможно, значение выражения:

а) $a-4b$;

б) $\frac{5}{6a-24b}$;

в) $\frac{8b-2a}{7}$;

г) $\frac{3}{a^2-8ab+16b^2}$.

Дано уравнение $3a - 12b = 1$.
Для решения задачи сначала упростим данное уравнение. Вынесем общий множитель 3 за скобки в левой части: $3(a - 4b) = 1$
Отсюда найдем значение выражения $a - 4b$, разделив обе части уравнения на 3: $a - 4b = \frac{1}{3}$
Это ключевое соотношение, которое мы будем использовать для нахождения значений всех выражений.

а) $a-4b$;
Значение этого выражения мы уже нашли при анализе исходного уравнения.
$a - 4b = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) $\frac{5}{6a-24b}$;
Рассмотрим знаменатель дроби: $6a - 24b$. Вынесем общий множитель 6 за скобки: $6a - 24b = 6(a - 4b)$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{5}{6(a - 4b)}$.
Используя найденное ранее соотношение $a - 4b = \frac{1}{3}$, получим: $\frac{5}{6 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{5}{\frac{6}{3}} = \frac{5}{2}$.
Полученная дробь $\frac{5}{2}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$.

в) $\frac{8b-2a}{7}$;
Преобразуем числитель дроби: $8b - 2a$. Чтобы получить известное нам выражение $a - 4b$, вынесем за скобки множитель -2: $8b - 2a = -2a + 8b = -2(a - 4b)$.
Подставим преобразованный числитель обратно в дробь: $\frac{-2(a - 4b)}{7}$.
Теперь подставим значение $a - 4b = \frac{1}{3}$: $\frac{-2 \cdot \frac{1}{3}}{7} = \frac{-\frac{2}{3}}{7} = -\frac{2}{3 \cdot 7} = -\frac{2}{21}$.
Ответ: $-\frac{2}{21}$.

г) $\frac{3}{a^2-8ab+16b^2}$;
Рассмотрим знаменатель дроби: $a^2 - 8ab + 16b^2$. Это выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$ и $y=4b$. Проверим: $a^2 - 2 \cdot a \cdot (4b) + (4b)^2 = a^2 - 8ab + 16b^2$.
Следовательно, знаменатель равен $(a - 4b)^2$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{3}{(a - 4b)^2}$.
Теперь подставим известное значение $a - 4b = \frac{1}{3}$: $\frac{3}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{3}{\frac{1}{9}} = 3 \cdot 9 = 27$.
Ответ: $27$.