Номер 1.18, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.18. Из выражений $12x^2 - xy$; $\frac{a+2}{a-2}$; $48n - \frac{m}{n}$; $\frac{8x+2}{3x-4}$; $\frac{y^2-18}{6}$; $7\sqrt{mn}$; $8m^2n$; $\frac{b^3-5b+4}{3b}$; $\frac{1}{9}$ выпишите все:

а) целые рациональные выражения;

б) рациональные дроби.

Для решения задачи необходимо классифицировать данные выражения.

• Целые рациональные выражения — это выражения, которые не содержат операции деления на переменную. К ним относятся многочлены.
• Рациональные дроби — это выражения, в которых есть операция деления на переменную.

Выражение $7\sqrt{mn}$ является иррациональным, так как содержит переменную под знаком квадратного корня, и поэтому не относится ни к одной из этих двух категорий.

а) целые рациональные выражения; Ответ: $12x^2 - xy$, $\frac{y^2-18}{6}$, $8m^2n$, $\frac{1}{9}$.

б) рациональные дроби. Ответ: $\frac{a+2}{a-2}$, $48n - \frac{m}{n}$, $\frac{8x+2}{3x-4}$, $\frac{b^3-5b+4}{3b}$.

В соответствии с дополнительным требованием, для рациональных дробей, являющихся неправильными (степень числителя больше или равна степени знаменателя), необходимо выделить целую часть. Выполним это преобразование для выражений из пункта б):

• $\frac{a+2}{a-2} = \frac{(a-2)+4}{a-2} = \mathbf{1} + \frac{4}{a-2}$
• $48n - \frac{m}{n}$ — в данном выражении целая часть ($\mathbf{48n}$) уже отделена от дробной.
• $\frac{8x+2}{3x-4} = \frac{\frac{8}{3}(3x-4) + \frac{32}{3} + 2}{3x-4} = \mathbf{\frac{8}{3}} + \frac{38}{3(3x-4)}$
• $\frac{b^3-5b+4}{3b} = \frac{b^3}{3b} - \frac{5b}{3b} + \frac{4}{3b} = \mathbf{\left(\frac{b^2}{3} - \frac{5}{3}\right)} + \frac{4}{3b}$