Номер 321, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса малого цилиндра, $m = 120 \text{ г}$
Радиус малого цилиндра, $r = 4,0 \text{ см}$
Радиус большого цилиндра, $R = 6,0 \text{ см}$
Длина нити, $l = 4,0 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0,12 \text{ кг}$
$r = 0,04 \text{ м}$
$R = 0,06 \text{ м}$
$l = 0,04 \text{ м}$

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Малый цилиндр находится в состоянии равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная горизонтально; и сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны большого цилиндра. Поскольку поверхность большого цилиндра гладкая, сила реакции $\vec{N}$ направлена перпендикулярно поверхности в точке касания, то есть по линии, соединяющей центры цилиндров.

Согласно условию равновесия для твердого тела, на которое действуют три непараллельные силы, линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке.

Линия действия силы тяжести $m\vec{g}$ проходит через центр малого цилиндра (обозначим его $O_m$).
Линия действия силы нормальной реакции $\vec{N}$ также проходит через центр малого цилиндра $O_m$.
Следовательно, для выполнения условия равновесия, линия действия силы натяжения нити $\vec{T}$ тоже должна проходить через центр $O_m$.

Так как нить $AB$ расположена горизонтально, это означает, что центр малого цилиндра $O_m$ находится на той же высоте, что и точка $B$. А так как нить $AB$ горизонтальна, точка $B$ находится на той же высоте, что и точка $A$. Точка $A$ находится на вершине большого цилиндра, на высоте $R$ от его центра (обозначим его $O_R$). Таким образом, центр малого цилиндра $O_m$ расположен на высоте $R$ относительно центра большого цилиндра $O_R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центрами $O_R$, $O_m$ и проекцией $O_m$ на вертикальную ось, проходящую через $O_R$. Гипотенуза этого треугольника равна расстоянию между центрами, то есть $R+r$. Вертикальный катет равен $R$. Пусть $\alpha$ — угол между линией центров $O_R O_m$ и вертикалью. Тогда мы можем записать:
$\cos(\alpha) = \frac{R}{R+r}$

Подставим числовые значения:
$\cos(\alpha) = \frac{0,06 \text{ м}}{0,06 \text{ м} + 0,04 \text{ м}} = \frac{0,06}{0,10} = 0,6$

Теперь запишем условия равновесия в проекциях на оси координат (ось $x$ — горизонтальная, ось $y$ — вертикальная):
Ось $x$: $N_x - T = 0 \implies T = N \sin(\alpha)$
Ось $y$: $N_y - mg = 0 \implies mg = N \cos(\alpha)$

Разделив первое уравнение на второе, получим:
$\frac{T}{mg} = \frac{N \sin(\alpha)}{N \cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$
Отсюда $T = mg \tan(\alpha)$.

Найдем $\sin(\alpha)$ и $\tan(\alpha)$, зная $\cos(\alpha)$:
$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$
$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3}$

Теперь можем вычислить модуль силы натяжения нити, приняв $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:
$T = 0,12 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{4}{3} = 0,04 \cdot 9,8 \cdot 4 \text{ Н} = 0,16 \cdot 9,8 \text{ Н} = 1,568 \text{ Н}$

Заметим, что данная в условии длина нити $l = 4,0 \text{ см}$ является непротиворечивой. Горизонтальное расстояние от центра $O_R$ до центра $O_m$ равно $(R+r)\sin(\alpha) = (10 \text{ см}) \cdot 0,8 = 8 \text{ см}$. Точка крепления нити $B$ находится на окружности малого цилиндра на той же высоте, что и его центр. Горизонтальное расстояние от $O_m$ до $B$ равно радиусу $r = 4 \text{ см}$. Таким образом, горизонтальное расстояние от вертикальной оси большого цилиндра до точки $B$ равно $8 \text{ см} - 4 \text{ см} = 4 \text{ см}$, что соответствует длине нити $l$.

Ответ:модуль силы натяжения нити $AB$ равен $1,568 \text{ Н}$.