Номер 318, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса шара, $m = 5,0$ кг
Угол наклона первой плоскости, $\alpha = 60^\circ$
Угол наклона второй плоскости, $\beta = 30^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Модули сил, с которыми плоскости действуют на шар ($N_\alpha$ и $N_\beta$).

Решение:

Шар находится в состоянии покоя, следовательно, он находится в равновесии. По первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. На шар действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры первой плоскости $\vec{N}_\alpha$, направленная перпендикулярно этой плоскости (с углом наклона $\alpha$).
3. Сила реакции опоры второй плоскости $\vec{N}_\beta$, направленная перпендикулярно второй плоскости (с углом наклона $\beta$).

Условие равновесия в векторной форме:

$\vec{F}_g + \vec{N}_\alpha + \vec{N}_\beta = \vec{0}$

Для решения задачи выберем систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально. Запишем условие равновесия в проекциях на эти оси. Силы реакции опоры $\vec{N}_\alpha$ и $\vec{N}_\beta$ перпендикулярны своим плоскостям. Следовательно, угол между вектором $\vec{N}_\alpha$ и вертикалью равен $\alpha$, а угол между вектором $\vec{N}_\beta$ и вертикалью равен $\beta$. Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси координат.

Проекция на ось OX (горизонтальная):

$N_\alpha \sin\alpha - N_\beta \sin\beta = 0 \implies N_\alpha \sin\alpha = N_\beta \sin\beta$ (1)

Проекция на ось OY (вертикальная):

$N_\alpha \cos\alpha + N_\beta \cos\beta - mg = 0 \implies N_\alpha \cos\alpha + N_\beta \cos\beta = mg$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $N_\alpha$ и $N_\beta$. Решим ее.

Из уравнения (1) выразим $N_\beta$:

$N_\beta = N_\alpha \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$N_\alpha \cos\alpha + \left(N_\alpha \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right) \cos\beta = mg$

Вынесем $N_\alpha$ за скобки и приведем к общему знаменателю:

$N_\alpha \left(\cos\alpha + \frac{\sin\alpha \cos\beta}{\sin\beta}\right) = N_\alpha \left(\frac{\cos\alpha \sin\beta + \sin\alpha \cos\beta}{\sin\beta}\right) = mg$

Используя тригонометрическую формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, получим:

$N_\alpha \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta} = mg$

Отсюда находим $N_\alpha$:

$N_\alpha = \frac{mg \sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

Аналогично, подставив $N_\alpha$ в выражение для $N_\beta$, найдем:

$N_\beta = \left(\frac{mg \sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\right) \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{mg \sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$

Теперь подставим числовые значения.

Сила тяжести: $F_g = mg = 5,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 49$ Н.

Сумма углов $\alpha + \beta = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$, тогда $\sin(\alpha+\beta) = \sin(90^\circ) = 1$.

Вычислим модуль силы $N_\alpha$ (от плоскости с углом $\alpha = 60^\circ$):

$N_\alpha = \frac{49 \text{ Н} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{49 \cdot 0,5}{1} = 24,5$ Н.

Вычислим модуль силы $N_\beta$ (от плоскости с углом $\beta = 30^\circ$):

$N_\beta = \frac{49 \text{ Н} \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{49 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1} \approx \frac{49 \cdot 0,866}{1} \approx 42,434$ Н.

Округлим результаты до двух значащих цифр, как в исходных данных ($m=5,0$ кг):

$N_\alpha \approx 25$ Н.
$N_\beta \approx 42$ Н.

Ответ: сила, с которой действует на шар плоскость, образующая угол $60^\circ$ с горизонтом, равна 25 Н; сила, с которой действует на шар плоскость, образующая угол $30^\circ$ с горизонтом, равна 42 Н.