Номер 320, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m$ - масса шарика

$l$ - длина невесомой нити

$R$ - радиус сферы

$h$ - высота точки подвеса над верхней точкой сферы

Найти:

$T$ - модуль силы натяжения нити

$N$ - модуль силы, с которой сфера действует на шарик (сила нормальной реакции)

Решение:

Шарик находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. На шарик действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности сферы в точке касания, то есть вдоль радиуса от центра сферы.

Условие равновесия в векторном виде: $\vec{T} + \vec{N} + m\vec{g} = 0$.

Для решения задачи рассмотрим геометрию системы. Образуется треугольник с вершинами в центре сферы (O), точке подвеса (S) и в положении шарика (B).

Стороны этого треугольника равны:

$OB = R$ (радиус сферы)

$SB = l$ (длина нити)

$OS = R + h$ (расстояние от центра сферы до точки подвеса)

Введем углы:

$\alpha$ - угол между вертикалью (линия OS) и радиусом OB (направлением силы $\vec{N}$).

$\beta$ - угол между вертикалью (линия OS) и нитью SB (направлением силы $\vec{T}$).

Запишем условие равновесия в проекциях на горизонтальную (x) и вертикальную (y) оси. Направим ось y вертикально вверх, а ось x горизонтально.

Проекция на ось x: $T_x + N_x = 0 \implies T \sin\beta - N \sin\alpha = 0$.

Проекция на ось y: $T_y + N_y - mg = 0 \implies T \cos\beta + N \cos\alpha - mg = 0$.

Из уравнения для оси x получаем: $T \sin\beta = N \sin\alpha$.

Применим теорему синусов к треугольнику OSB:

$\frac{OB}{\sin\beta} = \frac{SB}{\sin\alpha} \implies \frac{R}{\sin\beta} = \frac{l}{\sin\alpha}$.

Отсюда следует соотношение: $R \sin\alpha = l \sin\beta$. Подставим $\sin\beta = \frac{R}{l}\sin\alpha$ в уравнение проекций на ось x:

$T \left(\frac{R}{l}\sin\alpha\right) = N \sin\alpha$.

Так как шарик не находится на самой верхней точке, $\sin\alpha \neq 0$, и мы можем на него сократить:

$T \frac{R}{l} = N$. Это важное соотношение между модулями сил T и N.

Теперь подставим выражение для $N$ в уравнение для оси y:

$T \cos\beta + \left(T \frac{R}{l}\right) \cos\alpha = mg$

$T \left(\cos\beta + \frac{R}{l} \cos\alpha\right) = mg$

$T = \frac{mg}{\cos\beta + \frac{R}{l} \cos\alpha}$

Найдем косинусы углов $\alpha$ и $\beta$ с помощью теоремы косинусов для треугольника OSB:

Для угла $\alpha$: $l^2 = (R+h)^2 + R^2 - 2R(R+h)\cos\alpha \implies \cos\alpha = \frac{(R+h)^2 + R^2 - l^2}{2R(R+h)}$.

Для угла $\beta$: $R^2 = (R+h)^2 + l^2 - 2l(R+h)\cos\beta \implies \cos\beta = \frac{(R+h)^2 + l^2 - R^2}{2l(R+h)}$.

Подставим эти выражения в знаменатель формулы для $T$:

$\cos\beta + \frac{R}{l} \cos\alpha = \frac{(R+h)^2 + l^2 - R^2}{2l(R+h)} + \frac{R}{l} \left( \frac{(R+h)^2 + R^2 - l^2}{2R(R+h)} \right)$

$= \frac{(R+h)^2 + l^2 - R^2}{2l(R+h)} + \frac{(R+h)^2 + R^2 - l^2}{2l(R+h)}$

$= \frac{(R+h)^2 + l^2 - R^2 + (R+h)^2 + R^2 - l^2}{2l(R+h)} = \frac{2(R+h)^2}{2l(R+h)} = \frac{R+h}{l}$.

Знаменатель очень сильно упростился. Теперь можем найти силу натяжения $T$:

$T = \frac{mg}{\frac{R+h}{l}} = mg \frac{l}{R+h}$.

Теперь найдем силу нормальной реакции $N$, используя полученное ранее соотношение $N = T \frac{R}{l}$:

$N = \left(mg \frac{l}{R+h}\right) \frac{R}{l} = mg \frac{R}{R+h}$.

Ответ: Модуль силы натяжения нити равен $T = mg \frac{l}{R+h}$. Модуль силы, с которой сфера действует на шарик, равен $N = mg \frac{R}{R+h}$.