Номер 319, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 16,0 \text{ см}$

$R = 10,0 \text{ см}$

$m = 4,8 \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,16 \text{ м}$

$R = 0,10 \text{ м}$

Найти:

$N$ - модуль силы действия стены на шар

$T$ - модуль силы натяжения нити

Решение:

Поскольку шар находится в состоянии покоя, он находится в равновесии. Это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. На шар действуют три силы:
1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити от шара к точке подвеса.
3. Сила реакции гладкой стены $\vec{N}$, направленная перпендикулярно стене, то есть горизонтально.

Условие равновесия шара в векторной форме: $\vec{T} + \vec{N} + \vec{F_g} = 0$.

Для решения задачи введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально от стены. Запишем условие равновесия в проекциях на эти оси. Пусть нить образует с вертикалью угол $\alpha$.

Проекции на ось OX: $N - T\sin\alpha = 0$

Проекции на ось OY: $T\cos\alpha - F_g = 0$

Из этих уравнений получаем:
$N = T\sin\alpha$
$T\cos\alpha = mg$

Угол $\alpha$ можно найти из геометрических соображений. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок, соединяющий точку подвеса нити и центр шара, а катетами — радиус шара $R$ и вертикальный отрезок. Длина гипотенузы равна $l+R$.

Тогда синус и косинус угла $\alpha$ равны:

$\sin\alpha = \frac{R}{l+R}$

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{R}{l+R}\right)^2} = \frac{\sqrt{(l+R)^2 - R^2}}{l+R}$

Из системы уравнений для сил выразим $N$ и $T$:

$T = \frac{mg}{\cos\alpha}$

$N = T\sin\alpha = \frac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha = mg\tan\alpha$

Подставим числовые значения. Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$l+R = 0,16 \text{ м} + 0,10 \text{ м} = 0,26 \text{ м}$

$\sin\alpha = \frac{0,10 \text{ м}}{0,26 \text{ м}} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$

$\cos\alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$

Сила тяжести: $F_g = mg = 4,8 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 48 \text{ Н}$.

модуль силы действия стены на шар

Сила действия стены на шар (сила нормальной реакции) вычисляется по формуле $N = mg\tan\alpha$.

$N = 48 \text{ Н} \cdot \frac{5}{12} = 4 \text{ Н} \cdot 5 = 20 \text{ Н}$.

Ответ: 20 Н.

модуль силы натяжения нити

Сила натяжения нити вычисляется по формуле $T = \frac{mg}{\cos\alpha}$.

$T = \frac{48 \text{ Н}}{12/13} = \frac{48 \cdot 13}{12} \text{ Н} = 4 \cdot 13 \text{ Н} = 52 \text{ Н}$.

Ответ: 52 Н.