Номер 312, страница 76 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Для определения модуля равнодействующей силы в каждом случае необходимо найти векторную сумму приложенных сил $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$ и затем найти модуль этого вектора $|\vec{R}|$.

а

Дано:

$|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = |\vec{F_3}| = F$

Силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ направлены горизонтально в противоположные стороны.

Сила $\vec{F_3}$ направлена вертикально вниз.

Найти:

$|\vec{R}| - ?$

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех сил: $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$.

Силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Следовательно, их векторная сумма равна нулю:

$\vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0}$

Тогда равнодействующая сила будет равна оставшейся силе $\vec{F_3}$:

$\vec{R} = (\vec{F_1} + \vec{F_2}) + \vec{F_3} = \vec{0} + \vec{F_3} = \vec{F_3}$

Модуль равнодействующей силы равен модулю силы $\vec{F_3}$:

$|\vec{R}| = |\vec{F_3}| = F$

Ответ: $F$.

б

Дано:

$|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = |\vec{F_3}| = F$

Сила $\vec{F_2}$ направлена вертикально вниз. Силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_3}$ составляют с направлением силы $\vec{F_2}$ углы по $60^\circ$ и симметричны относительно вертикальной оси.

Найти:

$|\vec{R}| - ?$

Решение:

Для нахождения равнодействующей силы используем метод проекций. Введем систему координат: ось OY направим вертикально вниз (по направлению силы $\vec{F_2}$), а ось OX — горизонтально вправо.

Найдем проекции каждой силы на оси координат:

Проекции силы $\vec{F_1}$ (направлена под углом $60^\circ$ влево от оси OY):

$F_{1x} = -F \sin(60^\circ) = -F \frac{\sqrt{3}}{2}$

$F_{1y} = F \cos(60^\circ) = F \frac{1}{2}$

Проекции силы $\vec{F_2}$:

$F_{2x} = 0$

$F_{2y} = F$

Проекции силы $\vec{F_3}$ (направлена под углом $60^\circ$ вправо от оси OY):

$F_{3x} = F \sin(60^\circ) = F \frac{\sqrt{3}}{2}$

$F_{3y} = F \cos(60^\circ) = F \frac{1}{2}$

Найдем проекции равнодействующей силы $\vec{R}$ как сумму проекций составляющих сил:

$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = -F \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + F \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = F \frac{1}{2} + F + F \frac{1}{2} = 2F$

Модуль равнодействующей силы найдем по теореме Пифагора:

$|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + (2F)^2} = \sqrt{4F^2} = 2F$

Ответ: $2F$.

в

Дано:

$|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = |\vec{F_3}| = F$

Угол между любыми двумя силами равен $120^\circ$.

Найти:

$|\vec{R}| - ?$

Решение:

Воспользуемся правилом сложения векторов. Сначала найдем сумму двух сил, например, $\vec{F_1}$ и $\vec{F_3}$. Обозначим их сумму как $\vec{F_{13}} = \vec{F_1} + \vec{F_3}$. Модуль этого вектора можно найти по теореме косинусов для векторов, исходящих из одной точки:

$|\vec{F_{13}}|^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_3}|^2 + 2|\vec{F_1}||\vec{F_3}|\cos(120^\circ)$

Подставим известные значения:

$|\vec{F_{13}}|^2 = F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cdot (-\frac{1}{2}) = 2F^2 - F^2 = F^2$

Отсюда следует, что модуль суммы двух сил равен $|\vec{F_{13}}| = F$.

Вектор $\vec{F_{13}}$ направлен по биссектрисе угла между векторами $\vec{F_1}$ и $\vec{F_3}$. Так как система сил симметрична, этот вектор будет направлен точно в противоположную сторону вектору $\vec{F_2}$.

Теперь найдем равнодействующую всех трех сил: $\vec{R} = (\vec{F_1} + \vec{F_3}) + \vec{F_2} = \vec{F_{13}} + \vec{F_2}$.

Поскольку векторы $\vec{F_{13}}$ и $\vec{F_2}$ равны по модулю (оба равны $F$) и направлены в противоположные стороны, их векторная сумма равна нулю:

$\vec{R} = \vec{0}$

Следовательно, модуль равнодействующей силы равен нулю. Этот результат также известен как теорема о равновесии трех равных сил, приложенных под углом $120^\circ$ друг к другу.

Ответ: $0$.