Номер 305, страница 72 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус диска: $R$
Начальное расстояние шайбы от оси вращения: $r_0 = 0,6R$
Частота вращения диска: $\nu$

Найти:

$t$ — время, через которое шайба соскользнет с диска.
$\phi$ — угол, на который повернется диск за время скольжения шайбы.

Решение:

Через какое время шайба соскользнет с диска?

В момент отрыва шайба, вращаясь вместе с диском, обладает линейной скоростью. Эта скорость направлена по касательной к окружности радиусом $r_0$, по которой двигалась шайба. Величина этой скорости $v$ определяется через угловую скорость диска $\omega$:
$v = \omega r_0$
Угловая скорость связана с частотой вращения $\nu$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$.
Подставив значения, найдем скорость шайбы:
$v = (2\pi\nu)(0,6R) = 1,2\pi\nu R$.

Поскольку диск гладкий, после отрыва в горизонтальной плоскости на шайбу не действуют силы. Согласно первому закону Ньютона, шайба продолжит движение прямолинейно и равномерно со скоростью $v$. Ее траектория в инерциальной системе отсчета, связанной с центром диска, представляет собой прямую линию, касательную к окружности радиуса $r_0$ в точке отрыва.

Шайба соскользнет с диска, когда ее расстояние от центра вращения O станет равным радиусу диска $R$. Обозначим точку отрыва как P, а точку, в которой шайба покидает диск, — как Q. Траектория движения шайбы по диску — это отрезок PQ. Рассмотрим треугольник OPQ, где O — центр диска. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус OP, проведенный в точку касания P, перпендикулярен касательной PQ.
В этом треугольнике:
Гипотенуза $OQ = R$ (радиус диска).
Катет $OP = r_0 = 0,6R$ (начальное положение шайбы).
Катет PQ — это путь $S$, который шайба пройдет по поверхности диска.

По теореме Пифагора $OQ^2 = OP^2 + PQ^2$, откуда можно найти путь $S$:
$S^2 = PQ^2 = OQ^2 - OP^2 = R^2 - (0,6R)^2 = R^2 - 0,36R^2 = 0,64R^2$.
$S = PQ = \sqrt{0,64R^2} = 0,8R$.

Время движения $t$ можно найти, разделив пройденный путь $S$ на скорость $v$:
$t = \frac{S}{v} = \frac{0,8R}{1,2\pi\nu R}$.
Сократив $R$ и числовые коэффициенты, получаем:
$t = \frac{0,8}{1,2\pi\nu} = \frac{8}{12\pi\nu} = \frac{2}{3\pi\nu}$.
Ответ: $t = \frac{2}{3\pi\nu}$.

На какой угол повернется диск за время скольжения шайбы?

Диск вращается равномерно с постоянной угловой скоростью $\omega = 2\pi\nu$. Угол поворота $\phi$ за время $t$ определяется по формуле:
$\phi = \omega t$.
Подставим найденное ранее значение времени $t = \frac{2}{3\pi\nu}$:
$\phi = (2\pi\nu) \cdot \left(\frac{2}{3\pi\nu}\right)$.
Сократив общие множители $\pi$ и $\nu$, находим угол:
$\phi = \frac{2 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3}$ рад.
Ответ: $\phi = \frac{4}{3}$ рад.