Номер 300, страница 71 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость центра колеса $v = 2,0 \, \text{м/с}$
Угол $\alpha = 60^\circ$

Найти:

$v_A, v_B, v_C, v_D, v_E$ — модули линейных скоростей точек A, B, C, D, E относительно земли.

Решение:

Движение любой точки катящегося без проскальзывания колеса можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного движения всего колеса со скоростью центра $\vec{v}$ и вращательного движения точки вокруг центра колеса с линейной скоростью $\vec{v}_{вр}$. Скорость любой точки колеса относительно земли $\vec{v}_{абс}$ равна векторной сумме этих скоростей: $\vec{v}_{абс} = \vec{v} + \vec{v}_{вр}$.

При качении без проскальзывания модуль скорости вращения точек на ободе колеса равен модулю скорости поступательного движения центра колеса: $| \vec{v}_{вр} | = v = 2,0 \, \text{м/с}$. Вектор поступательной скорости $\vec{v}$ всегда направлен горизонтально (вправо по рисунку), а вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ направлен по касательной к окружности в каждой точке.

Точка A

Точка A — нижняя точка колеса, касающаяся земли. Вектор поступательной скорости $\vec{v}$ направлен горизонтально вправо, а вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ в этой точке направлен в противоположную сторону, горизонтально влево. Таким образом, их модули вычитаются.
$v_A = v - v_{вр} = 2,0 - 2,0 = 0 \, \text{м/с}$.
Ответ: $v_A = 0 \, \text{м/с}$.

Точка C

Точка C — верхняя точка колеса. Вектор поступательной скорости $\vec{v}$ направлен горизонтально вправо, и вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ в этой точке также направлен горизонтально вправо. Таким образом, их модули складываются.
$v_C = v + v_{вр} = 2,0 + 2,0 = 4,0 \, \text{м/с}$.
Ответ: $v_C = 4,0 \, \text{м/с}$.

Точка B

Точка B — левая крайняя точка на горизонтальном диаметре. Вектор поступательной скорости $\vec{v}$ направлен горизонтально вправо, а вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ направлен вертикально вверх. Векторы перпендикулярны друг другу.
Модуль результирующей скорости найдем по теореме Пифагора:
$v_B = \sqrt{v^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2} = 2,0 \cdot \sqrt{2} \approx 2,8 \, \text{м/с}$.
Ответ: $v_B \approx 2,8 \, \text{м/с}$.

Точка D

Точка D — правая крайняя точка на горизонтальном диаметре. Вектор поступательной скорости $\vec{v}$ направлен горизонтально вправо, а вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ направлен вертикально вниз. Векторы также перпендикулярны друг другу.
Модуль результирующей скорости найдем по теореме Пифагора:
$v_D = \sqrt{v^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2} = 2,0 \cdot \sqrt{2} \approx 2,8 \, \text{м/с}$.
Ответ: $v_D \approx 2,8 \, \text{м/с}$.

Точка E

Для точки E вектор поступательной скорости $\vec{v}$ направлен горизонтально вправо. Вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ направлен по касательной к окружности. Угол между радиусом, проведенным из центра к точке E, и вертикальным направлением вниз равен $\alpha$. Следовательно, угол между вектором $\vec{v}_{вр}$ (касательной) и вектором $\vec{v}$ (горизонталью) также равен $\alpha$.
Модуль результирующей скорости найдем по теореме косинусов для векторной суммы:
$v_E^2 = v^2 + v_{вр}^2 + 2vv_{вр}\cos\alpha = v^2 + v^2 + 2v^2\cos\alpha = 2v^2(1 + \cos\alpha)$.
$v_E = v\sqrt{2(1 + \cos\alpha)}$.
Подставим числовые значения: $\alpha = 60^\circ$, $\cos 60^\circ = 0,5$.
$v_E = 2,0 \cdot \sqrt{2(1 + 0,5)} = 2,0 \cdot \sqrt{2 \cdot 1,5} = 2,0 \cdot \sqrt{3} \approx 3,5 \, \text{м/с}$.
Ответ: $v_E \approx 3,5 \, \text{м/с}$.