Номер 294, страница 70 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Две беговые дорожки в форме окружностей.
Радиус первой дорожки: $R_1$.
Радиус второй дорожки: $R_2$.
Соотношение радиусов: $R_1 = 2R_2$.
Ускорение первого спортсмена: $a_1$.
Ускорение второго спортсмена: $a_2$.

Найти:

Отношение модулей центростремительного ускорения $\frac{a_1}{a_2}$ при условиях:
а) $v_1 = v_2$
б) $T_1 = T_2$

Решение:

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, определяется двумя основными формулами. Первая связывает ускорение с линейной скоростью $v$ и радиусом $R$: $a = \frac{v^2}{R}$

Вторая формула связывает ускорение с периодом обращения $T$ и радиусом $R$. Учитывая, что линейная скорость $v = \frac{2\pi R}{T}$, подставим это в первую формулу: $a = \frac{(\frac{2\pi R}{T})^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Рассмотрим оба случая, указанные в задаче.

а) модулей их линейной скорости

По условию, линейные скорости спортсменов равны: $v_1 = v_2 = v$.
Запишем формулы для центростремительных ускорений каждого спортсмена: $a_1 = \frac{v_1^2}{R_1}$ и $a_2 = \frac{v_2^2}{R_2}$.
Найдем их отношение: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{v_1^2}{R_1}}{\frac{v_2^2}{R_2}}$
Так как $v_1 = v_2$, скорости в числителе и знаменателе сокращаются: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_2}{R_1}$
Теперь подставим известное соотношение радиусов $R_1 = 2R_2$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_2}{2R_2} = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: Отношение ускорений равно 0.5.

б) их периодов

По условию, периоды обращения спортсменов равны: $T_1 = T_2 = T$.
Запишем формулы для центростремительных ускорений, используя период: $a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}$ и $a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}$.
Найдем их отношение: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}}{\frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}}$
Так как $T_1 = T_2$, множители $4\pi^2$ и $T^2$ сокращаются: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_1}{R_2}$
Подставим соотношение радиусов $R_1 = 2R_2$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2R_2}{R_2} = 2$
Ответ: Отношение ускорений равно 2.