Номер 297, страница 70 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Отношение длин минутной ($L_м$) и секундной ($L_с$) стрелок: $k = \frac{L_м}{L_с} = 1,5$.

Период обращения минутной стрелки, $T_м = 60 \text{ минут} = 3600 \text{ с}$.
Период обращения секундной стрелки, $T_с = 60 \text{ секунд} = 60 \text{ с}$.

Найти:

1. Отношение модулей линейной скорости концов стрелок: $\frac{v_м}{v_с}$
2. Отношение модулей центростремительного ускорения концов стрелок: $\frac{a_м}{a_с}$

Решение:

Концы стрелок часов движутся по окружностям. Радиусы этих окружностей равны длинам соответствующих стрелок. Обозначим длину минутной стрелки как $L_м$, а секундной — как $L_с$.

1. Отношение модулей линейной скорости

Линейная скорость точки, движущейся по окружности, вычисляется по формуле $v = \frac{2\pi R}{T}$, где $R$ — радиус окружности (в нашем случае — длина стрелки), а $T$ — период обращения.

Линейная скорость конца минутной стрелки: $v_м = \frac{2\pi L_м}{T_м}$.
Линейная скорость конца секундной стрелки: $v_с = \frac{2\pi L_с}{T_с}$.

Найдем отношение этих скоростей:

$\frac{v_м}{v_с} = \frac{\frac{2\pi L_м}{T_м}}{\frac{2\pi L_с}{T_с}} = \frac{L_м}{L_с} \cdot \frac{T_с}{T_м}$

Из условия известно, что $\frac{L_м}{L_с} = k = 1,5$. Периоды обращения нам также известны. Подставим значения в формулу:

$\frac{v_м}{v_с} = 1,5 \cdot \frac{60 \text{ с}}{3600 \text{ с}} = 1,5 \cdot \frac{1}{60} = \frac{1,5}{60} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40} = 0,025$

Ответ: Отношение модулей линейной скорости конца минутной стрелки к секундной равно $\frac{1}{40}$ или $0,025$.

2. Отношение модулей центростремительного ускорения

Центростремительное ускорение точки, движущейся по окружности, вычисляется по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость ($\omega = \frac{2\pi}{T}$), а $R$ — радиус окружности. Таким образом, $a = (\frac{2\pi}{T})^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

Центростремительное ускорение конца минутной стрелки: $a_м = \frac{4\pi^2 L_м}{T_м^2}$.
Центростремительное ускорение конца секундной стрелки: $a_с = \frac{4\pi^2 L_с}{T_с^2}$.

Найдем отношение этих ускорений:

$\frac{a_м}{a_с} = \frac{\frac{4\pi^2 L_м}{T_м^2}}{\frac{4\pi^2 L_с}{T_с^2}} = \frac{L_м}{L_с} \cdot \frac{T_с^2}{T_м^2} = \frac{L_м}{L_с} \cdot \left(\frac{T_с}{T_м}\right)^2$

Подставим известные значения:

$\frac{a_м}{a_с} = 1,5 \cdot \left(\frac{60 \text{ с}}{3600 \text{ с}}\right)^2 = 1,5 \cdot \left(\frac{1}{60}\right)^2 = 1,5 \cdot \frac{1}{3600} = \frac{1,5}{3600} = \frac{3}{7200} = \frac{1}{2400}$

Ответ: Отношение модулей центростремительного ускорения конца минутной стрелки к секундной равно $\frac{1}{2400}$.