Номер 953, страница 182 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первого груза: $m_1 = m$

Длина пружины с первым грузом: $L_1 = l$

Масса второго груза: $m_2 = 2m$

Длина пружины со вторым грузом: $L_2 = 1.2l$

Конечная длина пружины: $L_3 = 1.5l$

Найти:

Работу $A$ по растяжению пружины.

Решение:

Обозначим начальную (недеформированную) длину пружины как $l_0$, а ее жесткость — как $k$.

Когда к пружине подвешивают груз, система приходит в равновесие. Сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины. Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр} = k \cdot \Delta l$, где $\Delta l$ — удлинение пружины.

Рассмотрим первый случай, когда подвешен груз массой $m$:

Сила тяжести: $F_{т1} = mg$.

Удлинение пружины: $\Delta l_1 = L_1 - l_0 = l - l_0$.

Условие равновесия: $mg = k(l - l_0)$ (1)

Рассмотрим второй случай, когда подвешен груз массой $2m$:

Сила тяжести: $F_{т2} = 2mg$.

Удлинение пружины: $\Delta l_2 = L_2 - l_0 = 1.2l - l_0$.

Условие равновесия: $2mg = k(1.2l - l_0)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $l_0$ и $k$. Решим ее, чтобы найти эти величины. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{2mg}{mg} = \frac{k(1.2l - l_0)}{k(l - l_0)}$

$2 = \frac{1.2l - l_0}{l - l_0}$

$2(l - l_0) = 1.2l - l_0$

$2l - 2l_0 = 1.2l - l_0$

$2l - 1.2l = 2l_0 - l_0$

$l_0 = 0.8l$

Таким образом, мы нашли начальную длину пружины. Теперь найдем ее жесткость $k$, подставив значение $l_0$ в первое уравнение:

$mg = k(l - 0.8l)$

$mg = k \cdot 0.2l$

$k = \frac{mg}{0.2l} = \frac{5mg}{l}$

Теперь необходимо найти работу $A$, которую нужно совершить, чтобы растянуть пружину из недеформированного состояния ($l_0$) до длины $L_3 = 1.5l$.

Работа по растяжению пружины равна изменению ее потенциальной энергии: $A = \frac{k(\Delta l_3)^2}{2}$.

Найдем конечное удлинение пружины $\Delta l_3$ относительно недеформированного состояния:

$\Delta l_3 = L_3 - l_0 = 1.5l - 0.8l = 0.7l$

Подставим значения $k$ и $\Delta l_3$ в формулу для работы:

$A = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5mg}{l}\right) \cdot (0.7l)^2$

$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{5mg}{l} \cdot 0.49l^2$

$A = \frac{1}{2} \cdot 5mg \cdot 0.49l$

$A = \frac{2.45mgl}{2}$

$A = 1.225mgl$

Ответ: $A = 1.225mgl$.