Номер 946, страница 181 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$S = 600 \text{ см}^2$

$h = 16 \text{ см}$

Начальное деление площади: $1:1$

Конечное деление площади: $1:2$

Плотность воды $\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$S = 600 \text{ см}^2 = 600 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 0.06 \text{ м}^2$

$h = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

$A$ — совершенную работу.

Решение:

Работа, совершаемая внешней силой при медленном перемещении перегородки, равна изменению потенциальной энергии воды в аквариуме, так как процесс медленный (изменение кинетической энергии равно нулю) и трением можно пренебречь.

$A = \Delta E_p = E_{p, \text{кон}} - E_{p, \text{нач}}$

Потенциальная энергия столба жидкости высотой $H$ с площадью основания $S_{осн}$ определяется по формуле $E_p = m g h_{cm}$, где $m = \rho S_{осн} H$ – масса жидкости, а $h_{cm} = H/2$ – высота центра масс от дна. Таким образом, формула для потенциальной энергии:

$E_p = (\rho S_{осн} H) g \frac{H}{2} = \frac{1}{2} \rho g S_{осн} H^2$

1. Начальное состояние.

Изначально аквариум перегорожен пополам. Площадь дна каждой из двух частей равна:

$S_1 = S_2 = \frac{S}{2}$

Высота воды в обеих частях одинакова и равна $h$. Начальная потенциальная энергия всей воды в аквариуме равна сумме энергий воды в двух частях:

$E_{p, \text{нач}} = E_{p1} + E_{p2} = \frac{1}{2} \rho g S_1 h^2 + \frac{1}{2} \rho g S_2 h^2 = \frac{1}{2} \rho g (\frac{S}{2}) h^2 + \frac{1}{2} \rho g (\frac{S}{2}) h^2 = \frac{1}{2} \rho g S h^2$

2. Конечное состояние.

Перегородку переместили так, что она делит площадь дна в отношении $1:2$. Новые площади частей:

$S'_1 = \frac{1}{1+2} S = \frac{1}{3} S$

$S'_2 = \frac{2}{1+2} S = \frac{2}{3} S$

Согласно условию, вода не перетекает через перегородку, поэтому объем воды в каждой из двух частей, разделенных перегородкой, сохраняется. В начальном состоянии объемы были:

$V_1 = S_1 h = \frac{S}{2}h$

$V_2 = S_2 h = \frac{S}{2}h$

Эти объемы воды теперь занимают новые площади $S'_1$ и $S'_2$. Найдем новые высоты столбов воды $h'_1$ и $h'_2$:

$h'_1 = \frac{V_1}{S'_1} = \frac{S h / 2}{S / 3} = \frac{3}{2} h$

$h'_2 = \frac{V_2}{S'_2} = \frac{S h / 2}{2S / 3} = \frac{3}{4} h$

Конечная потенциальная энергия воды в аквариуме:

$E_{p, \text{кон}} = E'_{p1} + E'_{p2} = \frac{1}{2} \rho g S'_1 (h'_1)^2 + \frac{1}{2} \rho g S'_2 (h'_2)^2$

$E_{p, \text{кон}} = \frac{1}{2} \rho g (\frac{S}{3}) (\frac{3}{2}h)^2 + \frac{1}{2} \rho g (\frac{2S}{3}) (\frac{3}{4}h)^2$

$E_{p, \text{кон}} = \frac{1}{2} \rho g \frac{S}{3} \frac{9h^2}{4} + \frac{1}{2} \rho g \frac{2S}{3} \frac{9h^2}{16}$

$E_{p, \text{кон}} = \frac{3}{8} \rho g S h^2 + \frac{3}{16} \rho g S h^2 = (\frac{6}{16} + \frac{3}{16}) \rho g S h^2 = \frac{9}{16} \rho g S h^2$

3. Вычисление работы.

$A = E_{p, \text{кон}} - E_{p, \text{нач}} = \frac{9}{16} \rho g S h^2 - \frac{1}{2} \rho g S h^2 = \frac{9}{16} \rho g S h^2 - \frac{8}{16} \rho g S h^2 = \frac{1}{16} \rho g S h^2$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$A = \frac{1}{16} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.06 \text{ м}^2 \cdot (0.16 \text{ м})^2$

$A = \frac{1}{16} \cdot 10000 \cdot 0.06 \cdot 0.0256 = \frac{600 \cdot 0.0256}{16} = 37.5 \cdot 0.0256 = 0.96 \text{ Дж}$

Ответ: $0.96 \text{ Дж}$.