Номер 943, страница 181 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина цепочки $l = 80$ см
Масса цепочки $m = 400$ г

$l = 0.8$ м
$m = 0.4$ кг

Найти:

$A$ - ?

Решение:

Минимальная работа $A$, которую необходимо совершить, равна изменению потенциальной энергии цепочки $\Delta E_p$. За нулевой уровень потенциальной энергии примем горизонтальную плоскость, на которой изначально лежит цепочка. В начальном состоянии центр масс цепочки находится на нулевой высоте, поэтому ее начальная потенциальная энергия $E_{p1} = 0$.

В конечном состоянии цепочку подняли за середину так, что ее нижние концы находятся на высоте $h_1 = l$ от плоскости. Поскольку цепочку поднимают медленно (для совершения минимальной работы), она в любой момент будет находиться в равновесии. В конечном состоянии равновесия, когда середина поднята, а концы свободно свисают, обе половины цепочки будут располагаться вертикально. Это соответствует состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Таким образом, каждая половина цепочки длиной $l/2$ висит вертикально. Верхняя точка (середина цепочки) находится на высоте $H$, а нижние точки (концы цепочки) — на высоте $h_1 = l$. Следовательно, высота середины цепочки равна:

$H = h_1 + \frac{l}{2} = l + \frac{l}{2} = \frac{3l}{2}$

Найдем высоту центра масс $h_{цм}$ цепочки в конечном положении. Цепочка представляет собой два одинаковых вертикальных отрезка. Центр масс каждого отрезка находится на его середине. Так как оба отрезка находятся на одинаковой высоте, центр масс всей цепочки будет на той же высоте, что и центры масс каждого из отрезков. Высота центра масс находится как среднее арифметическое высот верхнего и нижнего концов:

$h_{цм} = \frac{H + h_1}{2} = \frac{3l/2 + l}{2} = \frac{5l/2}{2} = \frac{5l}{4}$

Конечная потенциальная энергия цепочки $E_{p2}$ равна:

$E_{p2} = m g h_{цм} = m g \frac{5l}{4}$

Работа по поднятию цепочки:

$A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = \frac{5}{4}mgl - 0 = \frac{5}{4}mgl$

Подставим числовые значения в системе СИ (примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$):

$A = \frac{5}{4} \cdot 0.4 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.8 \, \text{м} = 0.5 \cdot 9.8 \cdot 0.8 \, \text{Дж} = 3.92 \, \text{Дж}$

Ответ: минимальная работа равна 3.92 Дж.