Номер 936, страница 180 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса первого груза $m_1 = 0,1$ кг

увеличение потенциальной энергии в $n = 9$ раз

Найти:

дополнительную массу $m_{доп}$

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется по формуле: $E_p = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ – жесткость пружины, а $x$ – её удлинение.

Когда к пружине подвешен первый груз массой $m_1$, он находится в равновесии. Сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины. Согласно закону Гука и условию равновесия, сила упругости равна силе тяжести:

$F_{упр1} = F_{тяж1}$

$kx_1 = m_1g$

Отсюда можно выразить удлинение пружины $x_1$: $x_1 = \frac{m_1g}{k}$.

Потенциальная энергия пружины в этом состоянии равна:

$E_{p1} = \frac{kx_1^2}{2} = \frac{k}{2} \left(\frac{m_1g}{k}\right)^2 = \frac{m_1^2g^2}{2k}$

После того, как к первому грузу прикрепили дополнительный груз массой $m_{доп}$, общая масса системы стала $m_2 = m_1 + m_{доп}$.

В новом положении равновесия для общей массы $m_2$ удлинение пружины станет $x_2$. Условие равновесия:

$kx_2 = m_2g$

Новое удлинение пружины: $x_2 = \frac{m_2g}{k}$.

Новая потенциальная энергия пружины равна:

$E_{p2} = \frac{kx_2^2}{2} = \frac{k}{2} \left(\frac{m_2g}{k}\right)^2 = \frac{m_2^2g^2}{2k}$

По условию задачи, новая потенциальная энергия в $n=9$ раз больше начальной: $E_{p2} = n \cdot E_{p1}$.

Подставим выражения для энергий в это соотношение:

$\frac{m_2^2g^2}{2k} = n \cdot \frac{m_1^2g^2}{2k}$

Сократив одинаковые множители $\frac{g^2}{2k}$ в обеих частях уравнения, получим:

$m_2^2 = n \cdot m_1^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей (так как масса является положительной величиной):

$m_2 = \sqrt{n} \cdot m_1$

Искомая дополнительная масса $m_{доп}$ равна разности масс $m_2$ и $m_1$:

$m_{доп} = m_2 - m_1 = \sqrt{n} \cdot m_1 - m_1 = m_1(\sqrt{n} - 1)$

Подставим числовые значения из условия:

$m_{доп} = 0,1 \cdot (\sqrt{9} - 1) = 0,1 \cdot (3 - 1) = 0,1 \cdot 2 = 0,2$ кг.

Ответ: необходимо дополнительно прикрепить груз массой 0,2 кг.