Номер 937, страница 180 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Упругий резиновый жгут разрезан на две части, длины которых $L_1$ и $L_2$ находятся в отношении:

$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$

Найти:

Возможность равенства потенциальных энергий полученных жгутов: $E_{p1} = E_{p2}$?

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (в данном случае, растянутого жгута) определяется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ – коэффициент жесткости жгута, а $x$ – его удлинение (величина деформации).

Коэффициент жесткости $k$ для упругого тела, такого как жгут, обратно пропорционален его первоначальной длине $L$. Это следует из формулы, связывающей жесткость с модулем Юнга $E$ и площадью поперечного сечения $A$: $k = \frac{EA}{L}$. Так как жгут однородный, $E$ и $A$ для обеих частей одинаковы.

Следовательно, для наших двух частей жгута соотношение их жесткостей будет обратным соотношению их длин:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{2}{1} = 2$

Отсюда получаем, что $k_1 = 2k_2$. Это означает, что более короткий жгут ($L_1$) в два раза жестче, чем более длинный ($L_2$).

Теперь рассмотрим условие, при котором их потенциальные энергии могут быть равны:

$E_{p1} = E_{p2}$

Подставим формулы для энергии:

$\frac{k_1 x_1^2}{2} = \frac{k_2 x_2^2}{2}$

где $x_1$ и $x_2$ – удлинения первого и второго жгутов соответственно.

Упростим выражение и подставим соотношение жесткостей $k_1 = 2k_2$:

$k_1 x_1^2 = k_2 x_2^2$

$(2k_2) x_1^2 = k_2 x_2^2$

Сократив $k_2$ (коэффициент жесткости не равен нулю), получим:

$2x_1^2 = x_2^2$

Из этого уравнения можно найти соотношение между удлинениями, при котором энергии будут равны:

$x_2 = x_1\sqrt{2}$

Это означает, что если удлинение более длинного (и менее жесткого) жгута будет в $\sqrt{2}$ раз больше, чем удлинение короткого (и более жесткого) жгута, то их потенциальные энергии будут равны. Поскольку в условии задачи не накладывается никаких ограничений на величины удлинений, такая ситуация физически возможна.

Ответ: Да, полученные жгуты могут обладать равной потенциальной энергией. Это произойдет, если удлинение длинного жгута будет в $\sqrt{2} \approx 1.41$ раза больше удлинения короткого жгута.