Номер 4, страница 81 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

4. Две гири массами $m_1 = 2,0$ кг и $m_2 = 1,0$ кг подвешены на концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок (рис. 112). Каждая гиря прошла путь $s = 0,80$ м. Определите ускорения гирь и их скорости в конце пути.

5. Два груза массами $m = 400$ г

Рис. 112

Дано:

$m_1 = 2,0$ кг

$m_2 = 1,0$ кг

$s = 0,80$ м

$g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

$a$ - ?

$v$ - ?

Решение:

Рассмотрим систему из двух гирь, соединенных нитью. Так как нить невесома и нерастяжима, а блок невесом и вращается без трения, то ускорения обеих гирь будут одинаковы по модулю, а сила натяжения нити $T$ будет одинакова по всей ее длине. Поскольку масса первой гири больше массы второй ($m_1 > m_2$), первая гиря будет опускаться, а вторая — подниматься с одинаковым ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждой гири в проекции на вертикальную ось. Для удобства направим ось для гири $m_1$ вниз, а для гири $m_2$ — вверх.

Для первой гири (массой $m_1$):
На нее действуют сила тяжести $m_1g$ (вниз) и сила натяжения нити $T$ (вверх). Ускорение $a$ направлено вниз.
$m_1g - T = m_1a$ (1)

Для второй гири (массой $m_2$):
На нее действуют сила тяжести $m_2g$ (вниз) и сила натяжения нити $T$ (вверх). Ускорение $a$ направлено вверх.
$T - m_2g = m_2a$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $a$ и $T$. Чтобы найти ускорение, сложим уравнение (1) и уравнение (2). Это позволит нам исключить силу натяжения нити $T$:
$(m_1g - T) + (T - m_2g) = m_1a + m_2a$
$m_1g - m_2g = (m_1 + m_2)a$

Выразим из этого уравнения ускорение $a$:
$a = \frac{g(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения для вычисления ускорения:
$a = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (2,0 \text{ кг} - 1,0 \text{ кг})}{2,0 \text{ кг} + 1,0 \text{ кг}} = \frac{9,8 \cdot 1,0}{3,0} \approx 3,267 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем скорость гирь в конце пути. Гири начинают движение из состояния покоя, поэтому их начальная скорость $v_0 = 0$. Движение происходит с постоянным ускорением $a$. Воспользуемся формулой для скорости при равноускоренном движении, не содержащей времени:
$v^2 = v_0^2 + 2as$

Поскольку $v_0 = 0$, формула упрощается:
$v^2 = 2as$

Отсюда конечная скорость $v$:
$v = \sqrt{2as}$

Подставим числовые значения, используя ранее вычисленное ускорение и заданный путь:
$v = \sqrt{2 \cdot 3,267 \text{ м/с}^2 \cdot 0,80 \text{ м}} \approx \sqrt{5,2272} \approx 2,286 \text{ м/с}$

Округлим полученные результаты до двух значащих цифр, в соответствии с данными в условии задачи.

$a \approx 3,3 \text{ м/с}^2$
$v \approx 2,3 \text{ м/с}$

Ответ: ускорение гирь $a \approx 3,3 \text{ м/с}^2$; скорости гирь в конце пути $v \approx 2,3 \text{ м/с}$.