Номер 3, страница 153 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

3. Легкоатлет массой $m$ бежит по круговой дорожке со скоростью, модуль которой $v$ постоянен. Определите модуль изменения импульса легкоатлета за каждый из промежутков времени: $\Delta t_1 = \frac{T}{4}$, $\Delta t_2 = \frac{T}{2}$, $\Delta t_3 = T$, где $T$ — время пробега одного круга.

Дано:

Масса легкоатлета: $m$

Модуль скорости: $v$

Время одного круга: $T$

Промежутки времени: $\Delta t_1 = \frac{T}{4}$, $\Delta t_2 = \frac{T}{2}$, $\Delta t_3 = T$

Найти:

$|\Delta \vec{p}_1|$ - модуль изменения импульса за время $\Delta t_1$

$|\Delta \vec{p}_2|$ - модуль изменения импульса за время $\Delta t_2$

$|\Delta \vec{p}_3|$ - модуль изменения импульса за время $\Delta t_3$

Решение:

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела $m$ на его скорость $\vec{v}$: $\vec{p} = m\vec{v}$. Изменение импульса $\Delta \vec{p}$ за некоторый промежуток времени — это векторная разность конечного $\vec{p}_2$ и начального $\vec{p}_1$ импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$.

Поскольку модуль скорости легкоатлета постоянен ($v = \text{const}$), модуль его импульса также постоянен: $p = |\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = mv$. Однако при движении по окружности направление вектора скорости, а значит и импульса, постоянно меняется. Вектор $\vec{v}$ (и $\vec{p}$) всегда направлен по касательной к окружности.

Найдем модуль изменения импульса $|\Delta \vec{p}|$ для каждого заданного промежутка времени.

$\Delta t_1 = \frac{T}{4}$

За четверть периода ($\frac{T}{4}$) легкоатлет пробежит четверть круговой дорожки. Угол, на который повернется вектор его скорости, составит $360^\circ / 4 = 90^\circ$. Таким образом, угол между начальным вектором импульса $\vec{p}_1$ и конечным вектором импульса $\vec{p}_2$ равен $90^\circ$. Модуль изменения импульса $|\Delta \vec{p}_1| = |\vec{p}_2 - \vec{p}_1|$ можно найти как длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, образованном векторами $\vec{p}_2$ и $-\vec{p}_1$. Модули этих векторов-катетов равны $mv$.По теореме Пифагора:

$|\Delta \vec{p}_1|^2 = |\vec{p}_1|^2 + |\vec{p}_2|^2 = (mv)^2 + (mv)^2 = 2(mv)^2$

Отсюда, модуль изменения импульса:

$|\Delta \vec{p}_1| = \sqrt{2(mv)^2} = mv\sqrt{2}$

Ответ: $mv\sqrt{2}$.

$\Delta t_2 = \frac{T}{2}$

За половину периода ($\frac{T}{2}$) легкоатлет пробежит половину круга и окажется в диаметрально противоположной точке траектории. Вектор его скорости изменит свое направление на противоположное. Следовательно, конечный вектор импульса $\vec{p}_2$ будет противоположен начальному вектору $\vec{p}_1$:

$\vec{p}_2 = -\vec{p}_1$

Изменение импульса равно:

$\Delta \vec{p}_2 = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = (-\vec{p}_1) - \vec{p}_1 = -2\vec{p}_1$

Модуль этого вектора равен:

$|\Delta \vec{p}_2| = |-2\vec{p}_1| = 2|\vec{p}_1| = 2mv$

Ответ: $2mv$.

$\Delta t_3 = T$

За время, равное полному периоду обращения $T$, легкоатлет совершит один оборот и вернется в исходную точку. Его конечный вектор скорости будет совпадать с начальным как по модулю, так и по направлению. Следовательно, конечный импульс равен начальному:

$\vec{p}_2 = \vec{p}_1$

Изменение импульса в этом случае равно нулю:

$\Delta \vec{p}_3 = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \vec{p}_1 - \vec{p}_1 = \vec{0}$

Модуль изменения импульса также равен нулю:

$|\Delta \vec{p}_3| = 0$

Ответ: 0.