Номер 5, страница 141 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

5. Используя закон Архимеда, докажите, что при $\rho_\text{т} < \rho_\text{ж}$ объем погруженной в жидкость части тела $V_\text{погр} = \frac{m}{\rho_\text{ж}}$, где $m$ — масса тела.

Дано:

Тело плавает в жидкости.
Условие плавания: $\rho_т < \rho_ж$
$m$ — масса тела.
$\rho_ж$ — плотность жидкости.
$V_{погр}$ — объем погруженной в жидкость части тела.

Найти:

Доказать, что $V_{погр} = \frac{m}{\rho_ж}$.

Решение:

Условие $\rho_т < \rho_ж$ означает, что тело плавает на поверхности жидкости, будучи погруженным лишь частично. Когда тело плавает, оно находится в состоянии механического равновесия. Это значит, что векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.

На плавающее тело в вертикальном направлении действуют две силы:

1. Сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз. Ее модуль вычисляется по формуле $F_т = m \cdot g$.
2. Выталкивающая сила Архимеда ($F_А$), направленная вертикально вверх. Согласно закону Архимеда, ее модуль равен весу вытесненной жидкости: $F_А = \rho_ж \cdot g \cdot V_{погр}$.

Поскольку тело находится в равновесии, эти силы уравновешивают друг друга, то есть их модули равны:
$F_А = F_т$

Подставим выражения для сил в это уравнение равновесия:
$\rho_ж \cdot g \cdot V_{погр} = m \cdot g$

Сократим в обеих частях уравнения ускорение свободного падения $g$ (которое не равно нулю):
$\rho_ж \cdot V_{погр} = m$

Из полученного соотношения выразим объем погруженной части тела $V_{погр}$:
$V_{погр} = \frac{m}{\rho_ж}$

Таким образом, формула доказана на основе закона Архимеда и условия равновесия плавающего тела.

Ответ: Для плавающего тела ($\rho_т < \rho_ж$) сила тяжести $F_т = m \cdot g$ уравновешена силой Архимеда $F_А = \rho_ж \cdot g \cdot V_{погр}$. Из условия равновесия $F_А = F_т$ следует, что $\rho_ж \cdot g \cdot V_{погр} = m \cdot g$. Сократив $g$, получаем $m = \rho_ж \cdot V_{погр}$, откуда следует доказываемая формула: $V_{погр} = \frac{m}{\rho_ж}$. Что и требовалось доказать.