Номер 2, страница 146 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

2. Одна половина прямоугольного бруска длиной $l = 20$ см состоит из меди, другая — из алюминия. Определите положение центра тяжести бруска. Плотность меди $\rho_{\text{м}} = 8,9 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$, алюминия $\rho_{\text{ал}} = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Дано:

Длина бруска $l = 20$ см

Плотность меди $\rho_м = 8,9$ г/см³

Плотность алюминия $\rho_{ал} = 2,7$ г/см³

$l = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$\rho_м = 8,9 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 8,9 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 8900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$\rho_{ал} = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 2,7 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Положение центра тяжести бруска $x_{цт}$.

Решение:

Для нахождения центра тяжести (центра масс) составного тела воспользуемся принципом, согласно которому координата центра масс системы равна взвешенному среднему координат центров масс ее частей. Поскольку брусок можно считать одномерным телом, расположенным вдоль оси $Ox$, формула для координаты центра тяжести будет:

$x_{цт} = \frac{m_{ал} x_{ал} + m_{м} x_{м}}{m_{ал} + m_{м}}$

где $m_{ал}$ и $m_{м}$ — массы алюминиевой и медной частей бруска, а $x_{ал}$ и $x_{м}$ — координаты их центров тяжести.

Расположим начало координат ($x=0$) на торце алюминиевой части бруска. Тогда ось $Ox$ направлена вдоль бруска. Длина каждой половины бруска равна $l/2 = 20/2 = 10$ см.

Алюминиевая часть занимает отрезок от $x=0$ до $x=10$ см. Ее центр тяжести находится посередине, то есть в точке $x_{ал} = \frac{l/2}{2} = \frac{l}{4} = \frac{20}{4} = 5$ см.

Медная часть занимает отрезок от $x=10$ см до $x=20$ см. Ее центр тяжести находится посередине этого отрезка, то есть в точке $x_{м} = \frac{l}{2} + \frac{l/2}{2} = \frac{3l}{4} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15$ см.

Массы частей бруска выразим через плотность и объем. Пусть $S$ — площадь поперечного сечения бруска (она постоянна). Объем каждой половины равен $V = S \cdot \frac{l}{2}$.

Масса алюминиевой части: $m_{ал} = \rho_{ал} \cdot V = \rho_{ал} S \frac{l}{2}$.

Масса медной части: $m_{м} = \rho_{м} \cdot V = \rho_{м} S \frac{l}{2}$.

Подставим выражения для масс и координат в формулу для центра тяжести:

$x_{цт} = \frac{(\rho_{ал} S \frac{l}{2}) \cdot x_{ал} + (\rho_{м} S \frac{l}{2}) \cdot x_{м}}{\rho_{ал} S \frac{l}{2} + \rho_{м} S \frac{l}{2}}$

Общий множитель $S \frac{l}{2}$ в числителе и знаменателе можно сократить:

$x_{цт} = \frac{\rho_{ал} x_{ал} + \rho_{м} x_{м}}{\rho_{ал} + \rho_{м}}$

Подставим числовые значения. Можно использовать исходные единицы измерения, так как единицы плотности (г/см³) сократятся, а результат для координаты будет в сантиметрах.

$x_{цт} = \frac{2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 5 \text{ см} + 8,9 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 15 \text{ см}}{2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} + 8,9 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}} = \frac{13,5 + 133,5}{11,6} \text{ см} = \frac{147}{11,6} \text{ см} \approx 12,67 \text{ см}$.

Полученный результат означает, что центр тяжести всего бруска находится на расстоянии примерно 12,7 см от его алюминиевого конца. Это логично, так как медь плотнее алюминия, и центр тяжести смещен от геометрического центра (10 см) в сторону более тяжелой, медной части.

Ответ:

Положение центра тяжести бруска находится на расстоянии приблизительно 12,7 см от его алюминиевого конца.