Номер 3, страница 146 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

3. Из однородной пластинки в виде круга радиусом $R$ вырезано круглое отверстие радиусом $\frac{R}{2}$ (рис. 224). На каком расстоянии от точки $O$ находится центр тяжести пластинки?

Рис. 224

Дано:

Радиус однородной пластинки: $R$
Радиус вырезанного отверстия: $r = \frac{R}{2}$
Пластинка однородная, поверхностная плотность массы $\sigma = const$

Найти:

Расстояние от точки $O$ до центра тяжести пластинки с отверстием.

Решение:

Для решения этой задачи удобно использовать метод отрицательных масс. Пластинку с отверстием можно рассматривать как сплошную пластину, из которой вычли (убрали) меньшую пластину, соответствующую отверстию.

Введем одномерную систему координат, ось $Ox$ которой проходит через центр большой пластины $O$ и центр вырезанного отверстия $O_1$. Начало координат ($x=0$) поместим в точку $O$. В силу симметрии, центр тяжести итоговой фигуры будет лежать на этой оси.

Координата центра масс системы определяется формулой: $x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots}$

Применим эту формулу, считая вырезанную часть телом с отрицательной массой.

1. Сплошная пластина (до вырезания).
Пусть $\sigma$ — поверхностная плотность материала (масса на единицу площади).
Масса сплошной пластины: $m_1 = \sigma \cdot S_1 = \sigma \pi R^2$.
Ее центр тяжести находится в точке $O$, поэтому его координата $x_1 = 0$.

2. Вырезанная часть (отверстие).
Радиус вырезанной части $r = \frac{R}{2}$.
Масса вырезанной части (которую мы будем считать отрицательной): $m_2 = \sigma \cdot S_2 = \sigma \pi r^2 = \sigma \pi (\frac{R}{2})^2 = \frac{\sigma \pi R^2}{4}$.
Центр тяжести вырезанной части находится в точке $O_1$. Расстояние от $O$ до $O_1$ равно $R-r = R - R/2 = R/2$. Таким образом, координата центра тяжести вырезанной части $x_2 = \frac{R}{2}$.

Координата центра тяжести $x_c$ пластинки с отверстием находится по формуле для центра масс с учетом отрицательной массы: $x_c = \frac{m_1 x_1 - m_2 x_2}{m_1 - m_2}$

Подставим значения: $x_c = \frac{(\sigma \pi R^2) \cdot 0 - (\frac{\sigma \pi R^2}{4}) \cdot \frac{R}{2}}{\sigma \pi R^2 - \frac{\sigma \pi R^2}{4}}$

Упростим выражение. Можно сократить общий множитель $\sigma \pi R^2$: $x_c = \frac{ - \frac{1}{4} \cdot \frac{R}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{- \frac{R}{8}}{\frac{3}{4}}$

$x_c = - \frac{R}{8} \cdot \frac{4}{3} = - \frac{4R}{24} = - \frac{R}{6}$

Знак "минус" указывает, что центр тяжести сместился влево от точки $O$, в сторону, противоположную вырезанному отверстию. Расстояние от точки $O$ до нового центра тяжести равно модулю полученной координаты: $|x_c| = |-\frac{R}{6}| = \frac{R}{6}$

Ответ: центр тяжести пластинки находится на расстоянии $\frac{R}{6}$ от точки $O$.