Номер 8, страница 146 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

8. Оцените размеры дирижабля, который мог бы поднять груз массой $m = 50 \text{ т}$.

Дано:

Масса груза, $m = 50 \text{ т}$

Перевод в систему СИ:
$m = 50 \cdot 1000 \text{ кг} = 50000 \text{ кг}$

Найти:

Оценочные размеры дирижабля (длину $L$ и диаметр $D$).

Решение:

Для того чтобы дирижабль мог подняться с грузом, действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда $F_A$) должна как минимум уравновесить суммарную силу тяжести, состоящую из веса груза ($P_{гр}$), веса газа-наполнителя ($P_{газ}$) и веса самой конструкции дирижабля ($P_{констр}$).

Условие равновесия дирижабля в воздухе: $F_A = P_{гр} + P_{газ} + P_{констр}$

Сила Архимеда равна весу вытесненного дирижаблем воздуха: $F_A = \rho_{возд} \cdot V \cdot g$ где $\rho_{возд}$ — плотность воздуха, $V$ — объем дирижабля, а $g$ — ускорение свободного падения.

Веса компонентов определяются по формулам:
$P_{гр} = m \cdot g$
$P_{газ} = m_{газ} \cdot g = \rho_{газ} \cdot V \cdot g$
$P_{констр} = m_{констр} \cdot g$
где $\rho_{газ}$ — плотность газа-наполнителя, а $m_{констр}$ — масса конструкции дирижабля.

Подставим все выражения в уравнение равновесия и сократим на $g$: $\rho_{возд} \cdot V = m + \rho_{газ} \cdot V + m_{констр}$

Так как это задача на оценку, необходимо сделать ряд правдоподобных допущений:
1. В качестве газа-наполнителя выберем гелий как наиболее распространенный и безопасный вариант. Его плотность при нормальных условиях составляет $\rho_{газ} = \rho_{He} \approx 0,18 \text{ кг/м}^3$.
2. Плотность воздуха при нормальных условиях примем равной $\rho_{возд} \approx 1,29 \text{ кг/м}^3$.
3. Оценка массы конструкции ($m_{констр}$) является ключевым моментом. Для крупных транспортных летательных аппаратов масса полезной нагрузки часто сопоставима с массой самой конструкции. Поэтому примем, что масса конструкции дирижабля примерно равна массе поднимаемого груза: $m_{констр} \approx m = 50000 \text{ кг}$.

Теперь выразим и рассчитаем требуемый объем дирижабля $V$:
$V \cdot (\rho_{возд} - \rho_{газ}) = m + m_{констр}$
$V = \frac{m + m_{констр}}{\rho_{возд} - \rho_{газ}}$

Подставляем числовые значения:
$V = \frac{50000 \text{ кг} + 50000 \text{ кг}}{1,29 \text{ кг/м}^3 - 0,18 \text{ кг/м}^3} = \frac{100000 \text{ кг}}{1,11 \text{ кг/м}^3} \approx 90090 \text{ м}^3$
Для дальнейших расчетов округлим объем до $V \approx 90000 \text{ м}^3$.

Далее оценим линейные размеры. Форма дирижабля близка к форме вытянутого эллипсоида вращения (пролатного сфероида). Его объем рассчитывается по формуле:
$V = \frac{4}{3}\pi a b^2$
где $a$ — большая полуось (половина длины $L$), а $b$ — малая полуось (радиус в самой широкой части, половина диаметра $D$).

Классические дирижабли имеют соотношение длины к диаметру в диапазоне от 3 до 6. Возьмем для оценки типичное соотношение 4:1.
$\frac{L}{D} = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} = 4 \implies a = 4b$

Подставим это соотношение в формулу для объема:
$V = \frac{4}{3}\pi (4b) b^2 = \frac{16}{3}\pi b^3$

Теперь найдем радиус $b$:
$b^3 = \frac{3V}{16\pi} = \frac{3 \cdot 90000 \text{ м}^3}{16\pi} \approx \frac{270000}{50,27} \text{ м}^3 \approx 5371 \text{ м}^3$
$b = \sqrt[3]{5371 \text{ м}^3} \approx 17,5 \text{ м}$

Тогда максимальный диаметр дирижабля составит:
$D = 2b \approx 2 \cdot 17,5 \text{ м} = 35 \text{ м}$

А его длина:
$L = 2a = 2 \cdot (4b) = 8b \approx 8 \cdot 17,5 \text{ м} = 140 \text{ м}$

Ответ:

Для поднятия груза массой 50 тонн потребуется дирижабль объемом около $90000 \text{ м}^3$. При типичной сигарообразной форме с соотношением длины к диаметру 4:1 его оценочные размеры составят примерно 140 метров в длину и 35 метров в максимальном диаметре.