Номер 1386, страница 258 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Оптическая длина пути $L$ — это произведение геометрической длины пути $s$, пройденного светом в среде, на абсолютный показатель преломления $n$ этой среды: $L = n \cdot s$.

Изменение оптической длины пути $\Delta L$ при установке стеклянной пластинки на пути луча равно разности оптической длины пути в пластинке и оптической длины пути на соответствующем участке в воздухе (или вакууме), который пластинка замещает.

а) Луч падает на пластинку нормально

В этом случае луч света проходит через пластинку без преломления, перпендикулярно её поверхностям.

Дано:

Толщина пластинки $d = 1.0 \text{ мм}$
Показатель преломления стекла $n = 1.5$
Показатель преломления воздуха $n_0 \approx 1$

Перевод в систему СИ:

$d = 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Изменение оптической длины пути $\Delta L$.

Решение:

Геометрический путь света в пластинке равен её толщине $d$. Оптическая длина пути в пластинке: $L_{пласт} = n \cdot d$.

Без пластинки свет прошел бы в воздухе путь $d$. Оптическая длина этого пути: $L_{возд} = n_0 \cdot d$.

Изменение оптической длины пути равно:

$\Delta L = L_{пласт} - L_{возд} = n \cdot d - n_0 \cdot d = (n - n_0)d$.

Подставляем числовые значения:

$\Delta L = (1.5 - 1) \cdot 1.0 \text{ мм} = 0.5 \text{ мм}$.

Ответ: оптическая длина пути увеличится на $0.5$ мм.

б) Луч падает на пластинку под углом 30°

При наклонном падении луч преломляется на границе сред, и его геометрический путь внутри пластинки становится больше её толщины.

Дано:

Толщина пластинки $d = 1.0 \text{ мм}$
Показатель преломления стекла $n = 1.5$
Показатель преломления воздуха $n_0 \approx 1$
Угол падения $\alpha = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:

$d = 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Изменение оптической длины пути $\Delta L$.

Решение:

1. Найдем угол преломления $\beta$ с помощью закона Снеллиуса:

$n_0 \sin\alpha = n \sin\beta$

$1 \cdot \sin(30^\circ) = 1.5 \cdot \sin\beta$

$\sin\beta = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}$

2. Найдем косинус угла преломления:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. Геометрический путь луча внутри пластинки $s$ можно найти из прямоугольного треугольника: $s = \frac{d}{\cos\beta}$. Оптическая длина пути в пластинке:

$L_{пласт} = n \cdot s = \frac{nd}{\cos\beta}$

4. Оптическая длина пути в воздухе, который "замещается" пластинкой, определяется геометрической длиной отрезка исходного луча между волновыми фронтами, проходящими через точки входа и выхода луча из пластинки. Эта длина $s_{возд}$ равна $s \cdot \cos(\alpha - \beta)$. Таким образом, оптическая длина пути в воздухе:

$L_{возд} = n_0 \cdot s_{возд} = \frac{n_0 d \cos(\alpha - \beta)}{\cos\beta}$

5. Изменение оптической длины пути:

$\Delta L = L_{пласт} - L_{возд} = \frac{nd}{\cos\beta} - \frac{n_0 d \cos(\alpha - \beta)}{\cos\beta} = \frac{d}{\cos\beta} (n - n_0 \cos(\alpha - \beta))$

6. Вычислим $\cos(\alpha - \beta)$, используя формулу косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(30^\circ)\cos\beta + \sin(30^\circ)\sin\beta = (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{2\sqrt{2}}{3}) + (\frac{1}{2})(\frac{1}{3}) = \frac{2\sqrt{6}}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2\sqrt{6} + 1}{6}$

7. Подставим все найденные значения в формулу для $\Delta L$ (полагая $n_0 = 1$):

$\Delta L = \frac{d}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} \left( 1.5 - \frac{2\sqrt{6} + 1}{6} \right) = \frac{3d}{2\sqrt{2}} \left( \frac{3}{2} - \frac{2\sqrt{6} + 1}{6} \right)$

$\Delta L = \frac{3d}{2\sqrt{2}} \left( \frac{9 - (2\sqrt{6} + 1)}{6} \right) = \frac{3d}{2\sqrt{2}} \frac{8 - 2\sqrt{6}}{6} = \frac{d(4 - \sqrt{6})}{2\sqrt{2}} = d \frac{4\sqrt{2} - \sqrt{12}}{4} = d \left( \sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

8. Проведем численный расчет:

$\Delta L = 1.0 \text{ мм} \cdot \left( \sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \approx 1.0 \cdot (1.4142 - \frac{1.7321}{2}) = 1.0 \cdot (1.4142 - 0.8660) \approx 0.548 \text{ мм}$.

Ответ: оптическая длина пути увеличится примерно на $0.55$ мм.