Номер 1393, страница 259 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Расстояние между щелями, $l = 1,0 \text{ мм}$

Расстояние от щелей до экрана, $D = 3,0 \text{ м}$

Длина волны света, $\lambda = 0,60 \text{ мкм}$

Перевод в систему СИ:

$l = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$D = 3,0 \text{ м}$

$\lambda = 0,60 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 6,0 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Положения трех первых светлых полос $x_1, x_2, x_3$.

Решение:

В опыте Юнга условием возникновения максимума интенсивности света (светлой полосы) является равенство разности хода $\Delta$ лучей от двух когерентных источников (щелей) целому числу длин волн:

$\Delta = m\lambda$, где $m$ — целое число, называемое порядком максимума ($m = 0, 1, 2, ...$).

Геометрическая разность хода лучей от щелей $S_1$ и $S_2$ до точки на экране выражается через расстояние между щелями $l$ и угол $\varphi$, под которым наблюдается максимум:

$\Delta = l \sin{\varphi}$

Таким образом, для светлых полос справедливо соотношение:

$l \sin{\varphi_m} = m\lambda$

Положение $m$-ой светлой полосы $x_m$ на экране, находящемся на расстоянии $D$, определяется из геометрии установки:

$\text{tg}{\varphi_m} = \frac{x_m}{D}$

Так как расстояние до экрана $D$ значительно больше расстояния между щелями $l$ ($D \gg l$), углы $\varphi_m$ малы. Для малых углов можно использовать приближение $\sin{\varphi_m} \approx \text{tg}{\varphi_m}$.

Приравнивая выражения для синуса и тангенса через условия интерференции и геометрию, получаем:

$\frac{m\lambda}{l} \approx \frac{x_m}{D}$

Отсюда можно выразить координату $m$-ой светлой полосы:

$x_m = m \frac{\lambda D}{l}$

Центральная светлая полоса соответствует порядку $m=0$ и находится в точке $x_0 = 0$. Первые три светлые полосы, следующие за центральной, соответствуют порядкам $m=1, 2, 3$.

Вычислим их координаты:

Для первой светлой полосы ($m=1$):

$x_1 = 1 \cdot \frac{\lambda D}{l} = \frac{6,0 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 3,0 \text{ м}}{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 18 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 1,8 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1,8 \text{ мм}$

Для второй светлой полосы ($m=2$):

$x_2 = 2 \cdot \frac{\lambda D}{l} = 2 \cdot x_1 = 2 \cdot 1,8 \text{ мм} = 3,6 \text{ мм}$

Для третьей светлой полосы ($m=3$):

$x_3 = 3 \cdot \frac{\lambda D}{l} = 3 \cdot x_1 = 3 \cdot 1,8 \text{ мм} = 5,4 \text{ мм}$

Ответ:

Положения первых трех светлых полос на экране: $x_1 = 1,8 \text{ мм}$, $x_2 = 3,6 \text{ мм}$, $x_3 = 5,4 \text{ мм}$.