Номер 1387, страница 258 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Абсолютный показатель преломления призмы $n = 1,5$

Преломляющий угол призмы $φ = 30°$

Расстояние между лучами $d = 2 \text{ см}$

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$

Перевод в систему СИ:

$d = 0,02 \text{ м}$

Найти:

Оптическую разность хода лучей $ΔL$.

Решение:

Оптическая длина пути $L$ определяется как произведение геометрической длины пути $s$, пройденного светом в среде, на абсолютный показатель преломления $n$ этой среды: $L = n \cdot s$.

Оптическая разность хода $ΔL$ — это разность оптических длин путей двух лучей. Мы будем сравнивать оптические пути лучей от момента входа в призму (входная грань) до момента, когда луч II выходит из призмы. Этот момент определяет конечную плоскость для сравнения — плоскость, перпендикулярную первоначальному направлению лучей и проходящую через точку выхода луча II.

Пусть $s_I$ и $s_{II}$ — геометрические длины путей, которые проходят лучи I и II внутри призмы соответственно. Лучи падают перпендикулярно на входную грань, поэтому внутри призмы они распространяются параллельно первоначальному направлению.

Оптический путь луча II от входной грани до точки выхода из призмы равен:

$L_{II} = n \cdot s_{II}$

За то время, пока луч II проходит путь $s_{II}$ в призме, луч I сначала проходит путь $s_I$ в призме, а затем, выйдя из нее, проходит оставшееся расстояние $(s_{II} - s_I)$ по воздуху. Таким образом, оптический путь луча I на том же участке (по горизонтали) складывается из двух частей:

$L_{I} = n \cdot s_I + n_{воздуха} \cdot (s_{II} - s_I)$

Тогда оптическая разность хода равна:

$ΔL = L_{II} - L_I = n \cdot s_{II} - (n \cdot s_I + n_{воздуха} \cdot (s_{II} - s_I))$

$ΔL = n \cdot (s_{II} - s_I) - n_{воздуха} \cdot (s_{II} - s_I) = (n - n_{воздуха}) \cdot (s_{II} - s_I)$

Полагая $n_{воздуха} = 1$, получаем:

$ΔL = (n - 1) \cdot (s_{II} - s_I)$

Разность геометрических путей $(s_{II} - s_I)$ найдем из геометрии. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный выходной гранью призмы (гипотенуза), расстоянием между лучами $d$ (катет) и разностью путей $(s_{II} - s_I)$ (второй катет). Угол, прилежащий к катету $(s_{II} - s_I)$, равен $90° - φ$. Тогда:

$\text{tg}(90° - φ) = \frac{d}{s_{II} - s_I}$

Используя тригонометрическое тождество $\text{tg}(90° - φ) = \text{ctg}(φ)$, получаем:

$\text{ctg}(φ) = \frac{d}{s_{II} - s_I}$

Отсюда, разность геометрических путей:

$s_{II} - s_I = \frac{d}{\text{ctg}(φ)} = d \cdot \text{tg}(φ)$

Подставим это выражение в формулу для оптической разности хода:

$ΔL = (n - 1) \cdot d \cdot \text{tg}(φ)$

Теперь подставим числовые значения:

$ΔL = (1,5 - 1) \cdot 0,02 \text{ м} \cdot \text{tg}(30°)$

Значение тангенса $30°$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

$ΔL = 0,5 \cdot 0,02 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{0,01}{\sqrt{3}} \approx \frac{0,01}{1,732} \approx 0,00577 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для удобства:

$ΔL \approx 0,577 \text{ см}$

Ответ: оптическая разность хода лучей $ΔL \approx 0,58 \text{ см}$.