Номер 1388, страница 258 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Длина волны: $λ = 0,60$ мкм

Расстояние $SA = D = 2,0$ м

Расстояние $l = 0,55$ мм

Перевод в систему СИ:

$λ = 0,60 \cdot 10^{-6}$ м

$D = 2,0$ м

$l = 0,55 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Максимум или минимум интенсивности будет наблюдаться в точке $A$.

Решение

В точке $A$ на экране происходит наложение (интерференция) двух световых волн от источника $S$. Первая волна приходит в точку $A$ по прямому пути $SA$. Вторая волна приходит в точку $A$ после отражения от плоского зеркала по пути $SMA$. Результат интерференции (усиление или ослабление света) зависит от оптической разности хода этих двух волн.

Длина пути первой волны составляет $L_1 = SA = D$.

Для определения длины пути второй волны $L_2 = SM + MA$ воспользуемся методом мнимых изображений. Построим мнимое изображение $S'$ источника $S$ в плоском зеркале. Изображение $S'$ будет находиться за зеркалом на таком же расстоянии $l$, что и источник $S$. Длина пути отраженного луча $SMA$ равна длине прямого пути от мнимого источника до точки $A$, то есть $L_2 = S'A$.

Из геометрии, представленной на рисунке, можно найти длину $S'A$ по теореме Пифагора. Расстояние между источником $S$ и точкой $A$ вдоль направления, параллельного зеркалу, равно $D$. Расстояние по перпендикуляру к зеркалу между мнимым источником $S'$ и точкой $A$ равно $l+l=2l$. Тогда:

$L_2 = S'A = \sqrt{D^2 + (2l)^2} = \sqrt{D^2 + 4l^2}$

Геометрическая разность хода лучей $\Delta_{геом}$ равна:

$\Delta_{геом} = L_2 - L_1 = \sqrt{D^2 + 4l^2} - D$

Так как расстояние $l$ намного меньше расстояния $D$ ($l \ll D$), можно воспользоваться приближенной формулой, используя разложение в ряд Тейлора: $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}$ при $x \ll 1$.

$\Delta_{геом} = D\sqrt{1 + \frac{4l^2}{D^2}} - D \approx D \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4l^2}{D^2}\right) - D = D \left(1 + \frac{2l^2}{D^2}\right) - D = D + \frac{2l^2}{D} - D = \frac{2l^2}{D}$

При отражении света от оптически более плотной среды (в данном случае, от зеркала) фаза волны изменяется на $\pi$. Это эквивалентно дополнительному увеличению оптического пути на половину длины волны, то есть на $\lambda/2$.

Следовательно, полная оптическая разность хода $\Delta$ составит:

$\Delta = \Delta_{геом} + \frac{\lambda}{2} = \frac{2l^2}{D} + \frac{\lambda}{2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta = \frac{2 \cdot (0,55 \cdot 10^{-3})^2}{2,0} + \frac{0,60 \cdot 10^{-6}}{2} = (0,55 \cdot 10^{-3})^2 + 0,30 \cdot 10^{-6} = 0,3025 \cdot 10^{-6} + 0,30 \cdot 10^{-6} = 0,6025 \cdot 10^{-6}$ м.

Условие максимума интенсивности (конструктивной интерференции) выполняется, если разность хода равна целому числу длин волн:

$\Delta = k\lambda$, где $k = 1, 2, 3, ...$

Условие минимума интенсивности (деструктивной интерференции) выполняется, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:

$\Delta = (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Сравним полученную разность хода $\Delta$ с длиной волны $\lambda = 0,60 \cdot 10^{-6}$ м:

$\frac{\Delta}{\lambda} = \frac{0,6025 \cdot 10^{-6}}{0,60 \cdot 10^{-6}} \approx 1,004$

Так как отношение $\frac{\Delta}{\lambda}$ очень близко к целому числу $k=1$, в точке $A$ выполняется условие максимума интенсивности.

Ответ: В точке А будет наблюдаться максимум интенсивности.