Номер 1662, страница 304 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Изотоп алюминия: $_{13}^{27}\textrm{Al}$

Плотность алюминия: $\rho = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Массовое число: $A = 27$

Молярная масса алюминия: $M \approx 27 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Эмпирический коэффициент для радиуса ядра: $R_0 \approx 1,2 \times 10^{-15} \text{ м}$

$\rho = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 2,7 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2,7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$M = 27 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0,027 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Найти:

$\frac{R_{\text{атома}}}{R_{\text{ядра}}}$

Решение:

Для нахождения искомого отношения необходимо определить радиус атома алюминия ($R_{\text{атома}}$) и радиус его ядра ($R_{\text{ядра}}$).

Сначала найдем радиус атома алюминия. Массу одного атома $m_{\text{атома}}$ можно найти, разделив молярную массу $M$ на число Авогадро $N_A$:

$m_{\text{атома}} = \frac{M}{N_A}$

Объем $V_{\text{атома}}$, приходящийся на один атом в веществе, можно найти через его массу и плотность вещества $\rho$:

$V_{\text{атома}} = \frac{m_{\text{атома}}}{\rho} = \frac{M}{\rho N_A}$

Если принять, что атом имеет форму шара, его объем связан с радиусом $R_{\text{атома}}$ соотношением:

$V_{\text{атома}} = \frac{4}{3}\pi R_{\text{атома}}^3$

Приравняв два выражения для объема, получим формулу для радиуса атома:

$\frac{4}{3}\pi R_{\text{атома}}^3 = \frac{M}{\rho N_A}$

$R_{\text{атома}} = \sqrt[3]{\frac{3M}{4\pi\rho N_A}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$R_{\text{атома}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 0,027}{4 \cdot 3,14 \cdot 2,7 \cdot 10^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23}}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{\frac{0,081}{2,04 \cdot 10^{28}}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{3,97 \cdot 10^{-30}} \text{ м} \approx 1,58 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Далее найдем радиус ядра алюминия. Радиус ядра ($R_{\text{ядра}}$) можно оценить по эмпирической формуле, связывающей его с массовым числом $A$:

$R_{\text{ядра}} = R_0 \cdot A^{1/3}$

Для алюминия $A = 27$:

$R_{\text{ядра}} = (1,2 \cdot 10^{-15} \text{ м}) \cdot 27^{1/3} = (1,2 \cdot 10^{-15} \text{ м}) \cdot 3 = 3,6 \cdot 10^{-15} \text{ м}$

Теперь найдем, во сколько раз радиус атома больше радиуса ядра:

$\frac{R_{\text{атома}}}{R_{\text{ядра}}} = \frac{1,58 \cdot 10^{-10} \text{ м}}{3,6 \cdot 10^{-15} \text{ м}} \approx 0,439 \cdot 10^5 \approx 4,4 \cdot 10^4$

Ответ: Радиус атома алюминия больше радиуса его ядра примерно в $4,4 \cdot 10^4$ раз.