Номер 1663, страница 304 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Массы протонов и нейтронов одинаковы: $m_p \approx m_n = m_N$

Радиус ядра зависит от массового числа $A$ по формуле: $R = R_0 A^{1/3}$

Данные в системе СИ:

Масса нуклона: $m_N \approx 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг

Эмпирический коэффициент: $R_0 \approx 1,2 \cdot 10^{-15}$ м

Найти:

$\rho$ - доказать, что плотность ядерного вещества постоянна, и найти её значение.

Решение:

Средняя плотность вещества $\rho$ определяется как отношение массы $M$ к объему $V$:

$\rho = \frac{M}{V}$

Масса атомного ядра $M$ равна сумме масс составляющих его нуклонов. Если массовое число ядра (общее число протонов и нейтронов) равно $A$, а массу каждого нуклона мы принимаем за $m_N$, то масса ядра будет:

$M \approx A \cdot m_N$

Будем считать ядро сферой. Объем сферы радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Радиус ядра связан с массовым числом $A$ эмпирической формулой $R = R_0 A^{1/3}$, где $R_0$ — постоянный коэффициент. Подставим это выражение в формулу для объема:

$V = \frac{4}{3}\pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3}\pi R_0^3 (A^{1/3})^3 = \frac{4}{3}\pi R_0^3 A$

Теперь можем найти плотность, подставив полученные выражения для массы и объема:

$\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_N}{\frac{4}{3}\pi R_0^3 A}$

В этой формуле массовое число $A$ сокращается:

$\rho = \frac{m_N}{\frac{4}{3}\pi R_0^3} = \frac{3 m_N}{4 \pi R_0^3}$

Как видно из итогового выражения, плотность ядерного вещества зависит только от постоянных величин: массы нуклона $m_N$ и коэффициента $R_0$. Она не зависит от массового числа $A$, а значит, одинакова для всех атомных ядер. Это доказывает первую часть утверждения.

Теперь вычислим значение этой плотности, подставив числовые значения констант:

$\rho = \frac{3 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{4 \pi (1,2 \cdot 10^{-15} \text{ м})^3} = \frac{5,01 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{4 \cdot 3,14 \cdot (1,2 \cdot 10^{-15})^3 \text{ м}^3} = \frac{5,01 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{12,56 \cdot 1,728 \cdot 10^{-45} \text{ м}^3} \approx \frac{5,01 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{21,7 \cdot 10^{-45} \text{ м}^3} \approx 2,3 \cdot 10^{17} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: Плотность ядерного вещества $\rho = \frac{3 m_N}{4 \pi R_0^3}$ не зависит от массового числа ядра, то есть одинакова для всех ядер. Ее величина составляет приблизительно $2,3 \cdot 10^{17}$ кг/м$^3$.