Номер 1665, страница 304 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Протон ($p$) и ядро урана-235 ($^{235}_{92}U$).

Начальная скорость протона: $v_p = v = 1,0 \cdot 10^7 \frac{м}{с}$.

Начальная скорость ядра урана: $v_U = 0$.

Масса протона: $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг.

Массовое число ядра урана: $A = 235$.

Масса ядра урана: $m_U \approx A \cdot m_p = 235 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг.

Заряд протона: $q_p = e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Зарядовое число ядра урана: $Z = 92$.

Заряд ядра урана: $q_U = Z \cdot e = 92 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Электрическая постоянная: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9,0 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$.

Найти:

Минимальное расстояние сближения, $r_{min}$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из протона и ядра урана. Так как ядро урана свободное, оно может двигаться. На систему не действуют внешние силы, поэтому для нее выполняются законы сохранения импульса и энергии.

1. Начальное состояние (протон находится на большом расстоянии от ядра, $r \to \infty$).

Начальный импульс системы равен импульсу протона:

$P_i = m_p v + m_U \cdot 0 = m_p v$

Начальная энергия системы равна кинетической энергии протона (потенциальной энергией взаимодействия на большом расстоянии пренебрегаем):

$E_i = \frac{m_p v^2}{2}$

2. Конечное состояние (протон на минимальном расстоянии $r_{min}$ от ядра).

В момент максимального сближения относительная скорость частиц равна нулю, то есть они движутся как единое целое с некоторой одинаковой скоростью $V$.

Согласно закону сохранения импульса:

$P_f = (m_p + m_U) V$

$P_i = P_f \implies m_p v = (m_p + m_U) V$

Отсюда находим скорость $V$:

$V = \frac{m_p v}{m_p + m_U}$

Полная энергия системы в этот момент состоит из суммарной кинетической энергии и потенциальной энергии их электростатического отталкивания:

$E_f = \frac{(m_p + m_U) V^2}{2} + \frac{k q_p q_U}{r_{min}}$

Согласно закону сохранения энергии:

$E_i = E_f$

$\frac{m_p v^2}{2} = \frac{(m_p + m_U) V^2}{2} + \frac{k q_p q_U}{r_{min}}$

Подставим выражение для скорости $V$ в уравнение энергии:

$\frac{m_p v^2}{2} = \frac{(m_p + m_U)}{2} \left( \frac{m_p v}{m_p + m_U} \right)^2 + \frac{k q_p q_U}{r_{min}}$

$\frac{m_p v^2}{2} = \frac{m_p^2 v^2}{2(m_p + m_U)} + \frac{k q_p q_U}{r_{min}}$

Выразим из этого уравнения член с $r_{min}$:

$\frac{k q_p q_U}{r_{min}} = \frac{m_p v^2}{2} - \frac{m_p^2 v^2}{2(m_p + m_U)} = \frac{m_p v^2}{2} \left( 1 - \frac{m_p}{m_p + m_U} \right)$

$\frac{k q_p q_U}{r_{min}} = \frac{m_p v^2}{2} \left( \frac{m_p + m_U - m_p}{m_p + m_U} \right) = \frac{m_p m_U v^2}{2(m_p + m_U)}$

Отсюда выражаем минимальное расстояние $r_{min}$:

$r_{min} = \frac{2k q_p q_U (m_p + m_U)}{m_p m_U v^2}$

Подставим значения зарядов $q_p=e$, $q_U=Ze$ и масс $m_U \approx A m_p$:

$r_{min} = \frac{2k (e)(Ze) (m_p + A m_p)}{m_p (A m_p) v^2} = \frac{2kZe^2 m_p(1+A)}{A m_p^2 v^2} = \frac{2kZe^2(A+1)}{A m_p v^2}$

Произведем вычисления:

$r_{min} = \frac{2 \cdot (9 \cdot 10^9) \cdot 92 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})^2 \cdot (235+1)}{235 \cdot (1,67 \cdot 10^{-27}) \cdot (1,0 \cdot 10^7)^2}$

$r_{min} = \frac{2 \cdot 9 \cdot 92 \cdot 2,56 \cdot 236}{235 \cdot 1,67} \cdot \frac{10^9 \cdot 10^{-38}}{10^{-27} \cdot 10^{14}} = \frac{999206,4}{392,45} \cdot \frac{10^{-29}}{10^{-13}}$

$r_{min} \approx 2546 \cdot 10^{-16} м \approx 2,55 \cdot 10^{-13}$ м.

Ответ: $r_{min} \approx 2,55 \cdot 10^{-13}$ м.