Номер 1664, страница 304 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Изотоп меди: $ _{29}^{64}Cu $

Начальная скорость протона: $ v = 1,0 \cdot 10^7 \frac{м}{с} $

Масса протона: $ m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27} $ кг

Заряд протона (элементарный заряд): $ e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} $ Кл

Зарядовое число ядра меди: $ Z = 29 $

Коэффициент в законе Кулона: $ k = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} $

Найти:

Минимальное расстояние сближения протона с ядром меди: $ r $

Решение:

Протон, обладающий положительным зарядом, будет испытывать силу электростатического отталкивания со стороны положительно заряженного ядра атома меди. По мере приближения к ядру скорость протона будет уменьшаться, а его кинетическая энергия будет переходить в потенциальную энергию их электростатического взаимодействия. В точке максимального сближения скорость протона станет равной нулю, и в этот момент его начальная кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную энергию. Мы можем пренебречь начальной потенциальной энергией, считая, что протон начинает движение издалека.

Согласно закону сохранения энергии:

$ E_{к} = E_{п} $

где $ E_{к} $ - начальная кинетическая энергия протона, $ E_{п} $ - потенциальная энергия взаимодействия протона и ядра меди в точке максимального сближения.

Начальная кинетическая энергия протона определяется формулой:

$ E_{к} = \frac{m_p v^2}{2} $

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов $ q_1 $ и $ q_2 $, находящихся на расстоянии $ r $ друг от друга, равна:

$ E_{п} = k \frac{q_1 q_2}{r} $

В данном случае заряд протона $ q_1 = e $, а заряд ядра меди $ q_2 = Z \cdot e $, где $ Z=29 $ - порядковый номер меди в таблице Менделеева. Тогда потенциальная энергия в точке максимального сближения:

$ E_{п} = k \frac{e \cdot Z e}{r} = k \frac{Z e^2}{r} $

Приравниваем выражения для кинетической и потенциальной энергий:

$ \frac{m_p v^2}{2} = k \frac{Z e^2}{r} $

Из этого уравнения выразим искомое расстояние $ r $:

$ r = \frac{2 k Z e^2}{m_p v^2} $

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$ r = \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot 29 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} Кл)^2}{1,67 \cdot 10^{-27} кг \cdot (1,0 \cdot 10^7 \frac{м}{с})^2} $

$ r = \frac{2 \cdot 9 \cdot 29 \cdot 2,56 \cdot 10^9 \cdot 10^{-38}}{1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 10^{14}} \frac{Н \cdot м^2}{кг \cdot \frac{м^2}{с^2}} $

$ r = \frac{1336,32 \cdot 10^{-29}}{1,67 \cdot 10^{-13}} м \approx 800,2 \cdot 10^{-16} м \approx 8,0 \cdot 10^{-14} м $

Ответ: протон сможет приблизиться к ядру атома меди на расстояние $ r \approx 8,0 \cdot 10^{-14} $ м.