Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Верно ли, что:

а)$3 \in N$;

б)$0 \in N$;

в)$-2,6 \in Z$;

г)$-7 \in Z$;

д)$\frac{5}{7} \in Q$;

е)$8.\overline{3} \in Q$;

ж)$\sqrt{7} \in I$;

з)$\pi \in I$;

и)$2 \in R$;

к)$-\sqrt{13} \in R$?

a) $3 \in N$;

Утверждение верно. Множество натуральных чисел $N$ — это множество чисел, используемых при счёте предметов: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Число 3 является одним из таких чисел, следовательно, оно принадлежит множеству натуральных чисел.

Ответ: верно.

б) $0 \in N$;

Утверждение неверно. В большинстве математических контекстов, особенно в российской школьной программе, множество натуральных чисел $N$ начинается с 1. Ноль ($0$) не является натуральным числом по этому определению. Он является целым числом.

Ответ: неверно.

в) $-2,6 \in Z$;

Утверждение неверно. Множество целых чисел $Z$ включает натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Число $-2,6$ является десятичной дробью и не входит в множество целых чисел.

Ответ: неверно.

г) $-7 \in Z$;

Утверждение верно. Число $-7$ является целым отрицательным числом, а множество целых чисел $Z$ содержит все целые отрицательные числа. Следовательно, $-7$ принадлежит множеству $Z$.

Ответ: верно.

д) $\frac{5}{7} \in Q$;

Утверждение верно. Множество рациональных чисел $Q$ состоит из всех чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in Z$), а $q$ — натуральное число ($q \in N$). Число $\frac{5}{7}$ уже представлено в таком виде, где $p=5$ и $q=7$, поэтому оно является рациональным.

Ответ: верно.

е) $8,(3) \in Q$;

Утверждение верно. Любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Чтобы доказать это, представим число $8,(3)$ в виде обыкновенной дроби:$8,(3) = 8 + 0,(3) = 8 + \frac{3}{9} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{24}{3} + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$. Поскольку число $8,(3)$ можно представить в виде дроби $\frac{25}{3}$, оно является рациональным.

Ответ: верно, $8,(3) = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$.

ж) $\sqrt{7} \in I$;

Утверждение верно. Множество иррациональных чисел $I$ — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$. Квадратный корень из любого натурального числа, которое не является полным квадратом, иррационален. Так как 7 не является полным квадратом (не существует целого числа, квадрат которого равен 7), $\sqrt{7}$ — иррациональное число.

Ответ: верно.

з) $\pi \in I$;

Утверждение верно. Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, которая по определению является иррациональным числом. Его десятичное представление бесконечно и непериодично, поэтому его нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Ответ: верно.

и) $2 \in R$;

Утверждение верно. Множество действительных (вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные ($Q$) и иррациональные ($I$) числа. Число 2 является натуральным ($N$), целым ($Z$) и рациональным ($Q$, так как $2 = \frac{2}{1}$). Поскольку все рациональные числа являются действительными, $2$ принадлежит множеству $R$.

Ответ: верно.

к) $-\sqrt{13} \in R$?

Утверждение верно. Число $\sqrt{13}$ является иррациональным, так как 13 — простое число, не являющееся полным квадратом. Все иррациональные числа входят в множество действительных чисел $R$. Число $-\sqrt{13}$ является противоположным к $\sqrt{13}$ и также является иррациональным, а следовательно, и действительным числом.

Ответ: верно.