Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Сократите дробь $\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 7a + 6}$.

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 7a + 6}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель: $a^2 - 2a + 1$.

Это выражение представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле сокращенного умножения: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=1$, поэтому получаем:

$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2 = (a-1)(a-1)$

2. Разложим на множители знаменатель: $a^2 - 7a + 6$.

Это квадратный трехчлен. Для его разложения на множители найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 7a + 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $a_1 + a_2 = -(-7) = 7$
• Произведение корней: $a_1 \cdot a_2 = 6$

Подбираем целые числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 1 и 6:

$1 + 6 = 7$

$1 \cdot 6 = 6$

Следовательно, корни уравнения $a_1 = 1$ и $a_2 = 6$.

Теперь раскладываем квадратный трехчлен на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$a^2 - 7a + 6 = 1 \cdot (a - 1)(a - 6) = (a - 1)(a - 6)$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение.

$\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 7a + 6} = \frac{(a - 1)(a - 1)}{(a - 1)(a - 6)}$

Сокращаем общий множитель $(a - 1)$ в числителе и знаменателе. Следует отметить, что данное сокращение возможно при условии, что $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$. Также изначальный знаменатель не должен быть равен нулю, что означает $a \neq 6$.

$\frac{\cancel{(a - 1)}(a - 1)}{\cancel{(a - 1)}(a - 6)} = \frac{a - 1}{a - 6}$

Ответ: $\frac{a - 1}{a - 6}$