Номер 9, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Методом интервалов решите неравенство $\frac{(x-4)^2(x+5)}{x-1} \le 0.$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ) и нулей функции

Для решения неравенства методом интервалов вначале определим точки, в которых выражение в левой части меняет знак, равно нулю или не существует.
Область допустимых значений (ОДЗ) находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Нули функции находим, приравняв числитель к нулю: $(x-4)^2(x+5) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

• $(x-4)^2=0 \implies x-4=0 \implies x=4$. Это корень чётной кратности (2), так как множитель $(x-4)$ находится во второй степени.
• $x+5=0 \implies x=-5$. Это корень нечётной кратности (1).

Ответ: Критическими точками, которые разделяют числовую ось на интервалы, являются $x=-5$, $x=1$ и $x=4$.

2. Анализ знаков функции на числовой оси

Наносим критические точки на числовую ось. Нули числителя ($x=-5$ и $x=4$) отмечаем закрашенными точками, так как неравенство нестрогое ($\le$), и эти точки являются решениями. Нуль знаменателя ($x=1$) отмечаем выколотой точкой, так как он не входит в ОДЗ.
Эти точки разбивают ось на четыре интервала. Определим знак функции $f(x) = \frac{(x-4)^2(x+5)}{x-1}$ в каждом из них. Для этого можно взять по одной точке из каждого интервала или использовать правило чередования знаков с учётом кратности корней.

• В крайнем правом интервале $(4, +\infty)$, взяв $x=5$, получаем $f(5) = \frac{(+)^2(+)}{(+)} > 0$. Знак «+».
• При переходе через корень $x=4$ (чётная кратность) знак функции не меняется. Значит, в интервале $(1, 4)$ знак также «+».
• При переходе через корень $x=1$ (нечётная кратность) знак меняется на противоположный. Значит, в интервале $(-5, 1)$ знак «−».
• При переходе через корень $x=-5$ (нечётная кратность) знак снова меняется. Значит, в интервале $(-\infty, -5)$ знак «+».

Ответ: Функция отрицательна на интервале $(-5, 1)$ и положительна или равна нулю на остальных участках с учётом ОДЗ.

3. Формирование итогового ответа

Согласно условию, мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
1. Выражение строго меньше нуля ($<0$) на интервале, где стоит знак «−»: $(-5, 1)$.
2. Выражение равно нулю ($=0$) в точках, являющихся нулями числителя: $x=-5$ и $x=4$.
Объединяя полученный интервал и точки, получаем итоговое решение. Точка $x=-5$ включается в интервал, а точка $x=4$ является изолированным решением.
Ответ: $x \in [-5; 1) \cup \{4\}$.